DISTINCTION DES MAXIMA ET MIIVIMA

OU par

1 ir ir(r~3) I r(r— 4)(/' — 5)

puisqu'on a en général

I rir—p— i) (r — p — 2). . .(

Remettant pour [p, g], [g, ^], [<7 -i- i, ^ -h i],- • leurs valeurs, on aura donc définitivement

dp .az'^1^ , dl.az^P^ dl . ai"'^ z'^^^ r </?+', «i'— 2) z^î+')

dxP dxl dxl 1 ctz:?+'

"^ '■ I .2.3 dxl^'

série qui finit d'elle-même lorsque les dérivées de a cessent d'avoir un sens, et où l'on prendra le signe supérieur ou in^iérieur suivant que la différence p — q z=.r sera paire ou impaire. Le dernier terme de ce développement sera dans le premier cas

dx et dans le second

L'indice q H- - =: — -, ou (] -f-

dx

1^4 eALCUL DES VAlllATIONS.

qui affecte ce dernier terme, est nécessairement inférieur à fi, puisque p est tout au plus égal à /i, el p^q. Celte observation est importante, car elle prouve que les binômes Zp^ qui font partie de 4> (z) et qu'on ramène à la forme (6) par les développements qui précèdent, ne peuvent contribuer en rien à la formation du terme

— '—^^ — 5 lequel, par suite, devra son existence uniquement au dernier des monômes (7). Il est dbnc^ démontré non-seulement qu'on peut développera (z) en une série de la forme (6), mais aussi qu'on aura dans le dernier terme de ce développement,

rfe(«)2

87. Revenons à l'expression 4> (z):que nous venons de mettre sous la forme

, d.k.z' dKkiz" : ■d'^.knz'^'')

^ ' dx d.T^ dx"

Si nous y remplaçons z et ses dérivées z\.z" ^ . . . , par une autre fonction u et ses dérivées u' ^ u'\ . . . , elle deviendra

Cela posé, nous allons démontrer que la différence

est une dérivée exacte, quelles que soient les fonctions uQiz.

Considérons en effet deux termes coirespondants quelconques '

, ( dP.kpzU') dP.kpuiP)] ^ ' ] dxP dxP

DISTINCTIOIV DES MÀXIMA ET MINIMA. l'J\>

(le celle différence, et rappelons-nous que, d'après un théorème connu du calcul différentiel, on a

p(p— i) d\Apz(P^u(P-')