dx
si l'on retranche la seconde équation de la première, et qu'on fasse, pour abréger,
Vo = Ap[u(P^z(P) — u(P)z(P^] = o,
V,=:^Ap[u(l>'>z(P~n — U(P-')Z'P^],
^V,= ^^^~^' Ap[u(PH(P-') — uiP-')z(P)l .
Vp = Ap[u(pyz—uz(P)], :''■■„'
le couple de termes que nous considérons, deviendra
- • i rf^.A.zC/-)- dP.ApuiP)l d i ^ , ^^1%|
^ ' \ dxP dxP )~~dxi' dx ~^ " ' -^ dxP-^- \
Si, dans cette équation, on donne successivement à /? toutes les valeurs entières depuis zéro jusqu'à n et qu'on ajoute les différents résultais ainsi obtenus, on trouvera la différence u^ [z] — z 4> («) exprimée par une suite de dérivées exactes: cette différence sera donc bien ellemême une dérivée exacte.
88. Examinons en particulier la forme que prend la différence w ^ (z) — 2 <î> («), lorsqu'on y fait ^ = //z,,
l'jG CALCUL DES VARIATIONS.
Zx étant une nouvelle fonction quelconque de x. Si, dans les équations (ii), on substitue à z et à ses dérivées les valeurs
Z = UZi,
z' r= uz\ -
ziP) = uz'^' + ^ a'z[^"'^ ^.PiP-^) ,,.,(.-)
Ui , Us , . . . , Up deviendront des fonctions linéaires de z\^ ^", , . . . , z\^^ et le coefficient de z['^ dans le développement de U,. sera
—p{p — i)..\{p-r-i-j)p{p—i)..:(p — s-{-i))iiP--)u(P-')\,
expression qui reste la même lorsqu'on permute entre eux les indices r,s. Ainsi IJ,,U2,.--î Up seront exprimées
par des équations linéaires en z\, z'[, . . . , ^rj^'^dans lesquelles les coefficients seront les mêmes sur les lignes horizontales et sur les lignes verticales de même rang; il en résulte qu'on peut les représenter par les dérivées partielles d'une fonction '^^ homogène, entière et du second
degré de s', , s", , . . . , 2/' , de sorte que
dz.
dz\
Dès lors, si l'on ajoute les équations (11) après les avoir multipliées respectivement par ^i, 2',, ^'',. . ., z[^^ \^ le
DI5TIKCTI0N DES MAXIMA ET MIMIMA. 1^^
premier membre sera 2t}^p, tandis que le second membre
^ ..(D\ . . P .,f/.-n ' , . ..Jp)
A^ z'^P) • wC/') z, -h '- «(/'-') s, 4- . . -t- wz
se réduira à
on aura donc
i , dP .zz, , dP .uz,
^ i dxP dxP
^ ^ ''^ 'JL ' l d.TP dxP j
valeur symbolique, ou abrégée, de la fonction liomogène du
second degré en -3,, z\^..., 2|, dont les dérivées partielles
représentent les quantités L'i, U^,. . ., U^. On obtiendra la valeur de <|>p, sous la forme défini tive^ en remplaçant z par nz^ et elîectuant les diilérentiations indiquées.
Les diiîérenls couples de termes dont se compose la diiîérence zi 4^ (2 ) — z 4> ( u) , s'expriment ainsi par les dérivées partielles de certaines quantités (j/j, il^s,..-, ^„,
fonctions homogènes du second degré en z', , z\ , . .
Donc, si Ton fait
^ sera encore une fonction honiogènt; de z'^ , z", , du second degré, et Ton aura
Il est essentiel de se rappeler qu'un terme quelconque ^^ de la somme (|; = il^i -}- ^l^j 4- . . . (^„ ne renferme les dérivées de z^ que jusqu'à l'ordre ]) inclusivement,
car il en résulte (jue le <'airé z "'' enti<î uniquemcîJit
JV. 12
dans le dernier lermed;„,où il a pourcocfficienl A,,//',
c'esl-à-dire que l'on a
rh
89. Adnicitons maintenant que // soit une valeur connue de z qui satisfasse à l'équation diirérentielle ^ [z)=o^ en sorte que
soit une équation identique, et faisons, pour abréger,
Téquation (i!^) doinicra, en intégrant,
//.<I>{r.)./.r = ~.I.,(zV..
J^e procédé qui nous a conduits h transformer ^{2) (n" 80), s'appliquera également «à l'expression <I>,(r/ ), puisqu'elle dérive d'une fonction homogène tp du second degré de la même manière que ^(z) se déduit de la fonction homogène o. Donc, ^,(z'J pourra aussi se développer en une série analogue à (6), et l'équation précédente prendia la forme définitiv»
r/.IÎ,.'; ^./"-.B„.l"^
15,, 15g,. . ., lî„ étant des fonctions de .r, //, //,. . ., u^'*^ faciles à calcnlei* dans chaque cas particvdier. INotons ici seulement que la dernièriî de ces fondions, en vertu de ce qui précède, aura pour valeur
DISTiJVCTIO^ DES MAXIMA ET MIMMA. lyg
90. Eu résumant les résultais auxquels nous sommes parvenus, nous pouvons maintenant énoncer les deux théorèmes suivants :
Théorème I. — Si 9 est une fonction homogène du second degré en z^ z'^ 2.", . . . , z^"^, l'expression
(U • (ix^ dx"
sera une fonction linéaire de 2, z\ z'', . . . ,5^'"^, qu'on pourra mcltro sous la forme
l Ton aura
(ix ' d.T- dx"
dzi'-y'
Théorèmk U- — Si u est une valeur particulière quel conque de z qui satisfait à l'équation dilïérentielle
dx dx- dx"
<ît qu'on fasse z = 7iz,, le produit u^[z) sera une dérivée exacte, quelle v-juc soit la fonction z^ : son intégrale prendra la forme
/ //, <î) Cl c/j: — — H, r. , H ; — . . . zt , ,
dx dx"
c\ Ton aura
î)1 .- (a's deux ihéorènics nous serviront à enfectuer les transformations nécessaires pour metlr(* en évidence le signe de la variation s<!conde o'S. Lorsque les valeurs limites de .r, } , r, j", . . . ,7""^ sont fixes, cetle variation
l8o CALCUL DES VAllIATlOKS.
est, comme nous F avons déjà vu,
S'S=: j S(V)§f,dx, el l'on a, d'après la signification connue de (P),
Or, en faisant, pour abréger,
on trouve
^P = â'ju Z -i- <7i,, Z' -4- <7oj s" -h . . . 4- /2o««^"^
^P, — /7„z -4- û,,^' -f- ^ivz"-+-. . -H- «i«Z^"^ §V: = a,,Z -h «... ^' 4- û,:Z"-f- . . . +• fl-..„2("',
^P„ — «„oZ -i- ^7„, z' -4- fl„.::"-l- . • ••+• «««z^"^-
Les seconds membres de ces équations sont évidemment les dérivées partielles de la fonction homogène du second degré
-h -^..z'z'-h ûnz's" 4-. • .-l-«l«^'z^"^
-h - fl.., zV-+- . . .-^a.„z"zi"),
c est-a-dire que
o-p = f(c), ^P.=rrç.'(z';, <ÎP,rr:<p'(z"),.. , ,ÎP„ z:.r <f' (z("));
DISTINCTION DES MAXIMA ET MINIMA. l8l
on aura par conséquent
expression à laquelle, en vertu du théorème I, on peut donner la forme
dx dx' dj:" ^ '
et la variation seconde deviendra
{i5) o"'S=r 1 z<^(s)rfx.
Nous savons d'ailleurs que ^(P) z=z^[z) =o est une équation différentielle à laquelle on satisfait de la manière la plus générale en donnant à ^y o\x à ^ la forme (4), en sorte que, si Ton fait
df df df
on aura identiquement, ou pour des valeurs quelconques de a-, ^[u) =o- d'où l'on conclura, d'après le théorème II, que zf0(z) est la dérivée exacte d'une expression de la forme
(Ix dx" ' ^ ''
dans lacjuelle
Comme la fonction z et ses dérivées z\ z"^. . ., ^^("-i) sont nulles aux deux limites de l'intégrale, en vertu de riiypolhèse admise n" 81, il en sera de même de z^ et de ses dérivées jusqu'à Tordre // — i . An moins si l'on choisit
l82 CA.LCUL DES VAllIATIOKS.
les constantes a.-^^ o-g , . . . , de manière que u ne soit nul pour aucune des limites.
92, Cela posé, si nous remplaçons z par uz^ , nous trouverons, en intégrant par parties,
ou simplement
puisque Z, , comme nous venons de le dire, est nul aux deux limites de rintégrale.
Cette nouvelle intégrale se transformera de la menu; manière, dès qu'on aura trouvé une valeur quelconque de z\ qui satisfasse à Téqualion dilierenticUe ^^(z\) = o. Or, comme
dx
à chaque valeur de z qui rendra ^(2) nul, correspondra, en vertu de la relation z =z uz^ , une valeur de z^ qui rendra ^1(2',) constanU*. <ît si nous posons
df dj df
dfiy da , da-2n
|3, , |Sj, . , . , étant un nouveau système de constantes arbitraires, l'équation ^^{^) = o se trouvera satisfaite (|uand on donnera à z la valeur v^ ce qui revient à remplacer z^ par v\ . Donc la valeur v\ de z\ réduira la fonction <î>,(z',) à une constante, ou fera qu'elle ne dépende plus de x, mais uniquement des valeurs attribuées aux constantes arbitraires a, jS, dont on pouria disposer de; manière à rendre cett(; fonction nulle, ou à Vi'riliei identicjiu^moiil
