DISTINCTION DES MAXIMA ET MINIMA

« réquatioii ^t(^\) = o. Dès lors eu faisant

on conclura du lliéorèmc II que ^^', ^1(2, ) est la dérivée exacte d'une expression

cl qu'ainsi une nouvelle intégration par parties ramènera la variation seconde à la forme

(16) ^^Sr=: I z",<l>,(z",]dx.

A chaque valeur de ::', qui rend ^i{z\) nul, correspond, en vertu de la relation z\ ^^ u\ z\ une valeur de z'[ qui réduira ^2(2'^) à une constante-, or si l'on pose

df df df , , ,

on pourra disposer des nouvelles constantes arbitraires 7i , 7, , . . . , de manière à vérifier l'équation ^i(^^',) = o • donc iv'j seia une valeur de z^ qui rendra la fonction ^^{^z\) indépendante de j", et qui par une nouvelle relation convenable entre les constantes arbitraires rendra cette fonction nulle, en sorte que l'éijuation^., (w") = 0 sera idenli(piement vériii<'e. Dès lors, si l'on fait

la variation seconde prendra la forme

Une nouvelle Iransformalion semblable conduira à exprimer la variation seconde [)ar une nouvelle fonction indélei'inlnée ;î7, <'' amènera un nouvelles constantes

arbitraires, liées entre elles par trois équations de condi- . lion. En continuant ainsi, on arrivera nécessairement aune équation

-î^s^jf >U„(4''W,^

dans laquelle ^„(^;''^) aura la forme Q^^,^''^ Le coefficient Q,. est d'ailleurs facile à déterminer, car on a

et par suite

valeur <|ui, substituée dans la variation seconde, lui fail ])rendrc la forme

1)3. Avant (le tirer de cette forme dernière de c^^S des conclusions définitives, il est bon de rappeler les substitutions (jui y ont conduit, et de passer en revue les diverses formules qui doivent servir au calcul du facteur

uu\\\'\ . . . z^^" . Soit toujours

y—fix, a,, fl,. . ,«,„)

l'expression la plus i^énérale de y en x qui satisfasse à Féquation dillérentielle de Tordre 2 «, (P) = o, et dont on a déterminé les 2// constantes arbitraires /i, , a^^. . . de manière à rendre nulle la variation complète de Tinlégrale S == f\ rlx. Pour nmenei' la variation seconde à

DISTINCTIQN DES MAXIMA ET MIMMA. l85

la forme voulue , on écrira d'abord les n équations

- ; df df df

« = a, h «2 h ... -h (f-ln ~ •»

da^ da^, da^^

n "if . df df

p-o) / ' da^ ^ da, da.„

1 df df df

f ' day da-, da.,,

dans lesquelles a, (3, y, . . . sont des constantes arbitraires en nombre 2/i*^ ensuite on fera successivement

et l'on tirera lune après l'autre de ces équations les valeurs des quantités //, p», , tv" , . . . exprimées au moyen des

c ■ ' df df df , ,

tonctions -— » -7— ? • • • ? -^—5 et des constantes a, p, 7, . . . . r/rt, dn, da^„ ' '

Ces constantes ne sont pas tout à fait indépendantes les

1 ni- • r • ''('^ — ^)

unes des autres, car elles doivent satisiaire aux — ^

équations suivantes :

\ "^^ (^ ) = 0 5 <î», {«/, ) zzr O , . . . , (22) 1 ■ «l',(«';)r=0,...,

les fonctions <4^,, ^s^ • • •, étant définies par les é(juations

fa<l>(z)d.r= - cl..(c',), /./. <I).{z',) =: - <î>.(3';), ....

Ajoutons que le nombre d(î constantes réellement indépendantes éprouve encore une réduction considéiable par

le fait (jue le produit nv\\>\. . . c " ne renferme <jue des

l86 CALCUL DES VAlUATieiNS.

combinaisons particulières de a, (3, y, . . . , ou plutôt seulement les rapports de ces combinaisons, entre lesquelles il existe en outre un certain nombre de relations identiques. Nous ne pouvons signaler ici que d'une manière vague cette réduction, qui se présente d'ailleurs d'ellemême dans les cas particuliers.

Le facteur z''' , le seul qui dépende de la variation ^j

ou z^ est une fonction linéaire de z, z\ z" , . . . , z^"\ comme on le prouverait sans peine en exprimant succes- .sivement z, , -j, . . . en z à Faide de la dernière colonne des équations (21). auxquelles on peut donner la forme