La théorie des déterminants fournit du reste un
moyen très-simple d'exprimer le produit u^'^w"^. . .^y
en fonction de «, v^, ^v, . . . , z, comme Ta prouvé M. Hesse [Journal de Crelle. t. LIV, p. 227 et suiv.) dans un excellent Mémoire, auquel nous avons emp un té une partie des développements qui précèdent. M. Hesse commence j)ar énoncer le théorème suivant :
« En désii;nant par <7, Z', <:,..., //-h 1 fonctions d'une
sives de la première fonction , par //, //, de la seconde. <'tc., on a
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X étant nne <onsl«nne mi niK; fonction (jUclcon(]n(' de la
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DISTIKCTION DES MAXIMA ET MIKIMA. 187
On établirait sans peine ce théorème en développant les dérivées qui entrent dans le premier membre, et s'appuyant de ces deux propriétés connues des déterminants: 1** qu'on peut ajouter ou retrancher à tous les éléments d'une même colonne des quantités respectivement proportionnelles aux élémens d'une autre, sans altérer la valeur du déterminant: 2° que si l'on multiplie chaque élément d'une colonne par un même facteur /, le déterminant entier se trouvera multiplié par /,
Cela posé, considérons le déterminant
a u . . . Il-
D = I rv w'
remplaçons ^/, i^, "^v, . . . z par leurs valeuis,
lii-ées de la première ligne des équations ('ij), il vicndiM
Substituant 'à v , ^\'\ , . . . , r' leuis valeurs
tirées de la seconde Wi^wc d<'s écju.uions (21) , on trouvera
de même
iV^ . . . w
ot, en coiîliiiuant ainsi, on arrivera enfin à l'équaliou
( 23 ) D = w"+' pj" (vf ~' . , . zl"' .
Le délerminant
qui s«3 déduil de D en supprimant la dernière ligne et la dernière colonne, se réduira de même à
D„ — ii"i>'
En divisant le premier déterminant par le second, on aur
c'est la valeui" cheichée du produit en aueslion, et la variation second(! deviendra, ])ar conséquent,
25) '?S== / — — - — Jx.
La variation dy ou r, avec ses dérivées, entre uniquement dans le numérateur D, et si l'on représente par D,,
la aerivce — —- laquelle a son tour est un delerminanl
indépcntlanl de z. z' r, " , le raj)p(Mt des deux déler-
