DISTIKCTION DES MAXIMA ET MINIMA

tninants contenus dans J'S s'exprimera ainsi :

* D D,z-uD.z^-4-. . . H-D.s<"^

95. Cette discussion a été nécessairement un peu longue, mais par compensation les conclusions qu'on en tire sont très-simples. La forme (19) ou (25) à laquelle nous avons pu ramener la variation seconde de l'intégrale JVdx^ prouve, en effet, que le caractère distinctif du maximum et du minimum se trouve uniquement dans la dérivée partielle du second ordre

Si cetle dérivée reste toujours positive ou toujours négative entre les limites de l'intégrale pour la relation entre X ety soumise à l'examen, cette relation correspondra dans le premier cas î\ vm minimum, dans le second à un maximum de l'intégrale ^ mais si elle change désigne entre les limites dont il s'agit, il n'y auja ni maximum ni minimum. Dans ce cas, en effet, on pourrait évidemment disposer de la fonction arbitraire z ou c3y, contenue dans le facteur D, de manière à rendre à son gré la partie positive de l'intégrale (sS) plus grande ou plus petite que la partie négative, et par conséquent la variation seconde J"^S serait elle-même susceptible de clianger de signe.

Dans ce que nous venons de dire, nous avons supposé

implicitement que m la dérivée — — --•, ni le lacteur — ne

djv'y D„

deviennent infinis pour aucune valeur de x comprise entre les limites JT-i, x?, et nos conclusions ne seraient plus légitimes s'il en était autrement, parce cju'alors la variation seconde o"S pourrait elle-même devenir infinie, <;e qui rendrait incerlaisie l'existence du maximum ou du minimum. La règle que nous avons énoncée ne sera donc rigou-

190 CALCUL DES VAlUAïlOKS. .

reusement établie, qu'autant qu'il sera démontré qu'on peut trouver pour les constantes a, (5, . . . , a^, |3,, . . . , un système de valeurs qui satisfasse à la fois aux conditions (22) et qui ne rende D„ nul pour aucune valeur de x comprise entre les limites de Tintégrale. La question de reconnaître s'il existe ou non un pareil système de valeurs, est en réalité la partie la plus délicate de la tliéorie de Jacobi, et elle attend encore sa solution générale.

JNous n avons plus k examiner ici le cas où — pourrait

être constamment nul entre les limites de l'intégrale, car nous avons déjà fait remarquer, au commencement de cette leçon, que si Ton pouvait admettre une valeur de ^y (jui rendît constamment nulle la fonction sous le sign<' intégral dans la variation seconde, on n'aurait alTaire ni à un maximum ni à un minimum de l'intégrale proposée.

96. 'Après avoir exposé la méthode générale par laquelle on distingue les maxima et les minima des intégrales simples, renfermant une seule fonction inconnue/ avec ses dérivées successives juscju'à un ordre quelconque, nous allons faire l'application de cette méthode aux <!as particuliers les plus ordinaires.

Supposons d'abord que dans l'intégrale

dont il s agit de trouver le maximum ou le minimum, T ne renferme que x et y; soit de plus

la valeur de } (jul rend nulle la variation ])reniière de l'intégrale, la variation seconde se réduira, pour cette

DÏSTIRCTION DES MAXIMA ET MIMMA. lOl

même valeur de ^', à

d'où il résulte immédiatement que le maximum ou le

minimum a toujours lieu, lorsque la dérivée -—reste

constamment soit négative soit positive, sans devenir infinie, mais qu'il n'y a, au contraire, ni maximum ni minimum toutes les fois que cette dérivée change de signe enire les limites de l'intégrale.

97. Considérons en second lieu le cas où la fonction V dans rinlégrale f\(Ix renferme x, j , y' . Soit

j — /(.r, rt,, a,]

la solution (pii rend nulle la variation piemière; désignons, pour abréger, par r,, j\ les dérivées partielles —-^

If — • Nous avons vu (n*' 82) qu'en donnant à or la valeur

oi^i\ -\- aii\^ oL^j a.^ étant dos constantes aihilraires, on rendrait nulle la variation seconde O^S, et qu'il n'y aurait, par conséquent, ni maximum ni minimum, si ^y pouvait recevoir cette valeur dans les conditions du problème, (jui exigent ([ue or soit nulle aux deux limites de rinlégrale. La j)remière condilioïi du niaxiniuni ou du minimum est donc que l'équation

'jL^i\ -h y.^r-.zzzz G, ou - = =.111^

///. étant arbitraire, ne puisse avoir lieu à la fois aux deux limites de l'intégrale, ni même pour deux valeurs quelcon(jues de x compiises entre .t;, et .rj, c est-à-dire que le

192 CALCUL DES VARIATIONS, ■y"'* .

rapport - ne passe pas deux fois par une même valeur m,

lorsque x augmente continuellement depuis x^ jusqu'à x, . Si cette condition est remplie , on examine de plus près la variation seconde

laquelle, en faisant z = oy et u =z «, i\ -f- a,/', , prend la forn^e

Cooinie la variation seconde ne peut non plus devenir infinie, sans que l'existence du maximum ou du minimum soit compromise, il faut en second lieu qu'on puisse assigner aux constantes arbitraires «i, a^ des valeurs telles, que le dénominateur u ne s'évanouisse pas, c'està-dire que l'équation

ne soit vérifiée pour aucune valeur de x comprise entre .Tj ei Xs- Or cela est toujours possible pourvu (ju'il existe

une valeur que le rapport - ne prenne pas entre les limites de l'intégrale, puisqu'il suHit alors de donner à (n

ou à précisément celte valeur. La nouvelle condi-

tion du maximum ou du minimum est donc que le rapport - ne prenne pas, entre les limites de l'intégrale fi

toutes les valeurs possibles depuis — 00 jusqu'à -f- 00 .

"f DISTINCTION DES 1|AXIMA ET DES MINIMA. IpS

Le rapport- jouit d'une propriété remarquable que

nous allons indiquer. Comme r, et r, aussi bien que la fonction plus générale «j r^ + «j /'j sont des valeurs de ây ou de z qui rendraient nulle l'expression ^ (P), à laquelle

d,A z' on peut donner la forme Ao^ T~~' ^*^ ^"'^^ identiquement

Aor, — — r=o, AflTj =0,

dx d.r

ou bien, en éliminaiU Aq et intégrant,

' d.T A,r\\ Cette dernière équation, dans laquelle C est une con-

stante arbitraire, et Ai = -—'> montre que la dérivée de

-ne cliangc pas de signe quand -—n'en cbange point,

ce (jui d'ailleurs est une des conditions essentielles du maximum ou du minimum. Il en résullc que le rapport

- est sans cesse croissant ou accroissant j que s il est croissant, après avoir aUeiiil la valeur -f- oo , il passera brusquement à — co pour croître de nouveau* c[ue s'il est décroissant après ctie devenu égal à — co , il deviendra subitement -}- co })()ur décruîhe encore^ de sorte; qu'il n<; pourra reprendre la même valeur sans passer successivement ])ar .toutes les valeurs possibles comprises enlre

— co et -+- co . Ainsi les deux rcsiriclions imposées cà -'

par la condilion (pie la variation seconde ne devienne ni

nulle ni infinie , se confondent en une seule. On voit en