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194 CALCUL DES V^IATIONS. 'iji^-
même temps combien il est essentiel que les limites de l'intégration ne soient pas trop étendues. En effet, si Ton fait croître la variable x à partir de la limite inférieure
Xi, le rapport - croîtra ou décroîtra d'une manière con-
linue et pourra, après avoir passé une fois par Tinfini, reprendre, pour une certaine valeur de x, la valeur qu'il avait pour x = Xii cette seconde valeur de x est la limite supérieure jusqu'à laquelle ou au delà de laquelle l'intégration ne doit pas s'étendre, pour que le maximum ou le minimum puisse avoir lieu.
Ces conditions préliminaires étant remplies, l'inté-
erale S sera un maximum si la dérivée -—7- reste cou-
stamment négative, un minimum si elle reste constamment positive; mais l'intégrale ne sera ni maximum ^û minimum si la dérivée dont il s'agit change de signe entre les limites Xi et x?.
98. Considérons encore l'intégrale J\dx dans laquelle V est fonction de x^ y, y', y"-^ admettons que
soit la forme de y (jui rende nulle la variation première cîS; désignons, pour abréger, par z la variation or, par
7, , /'ç, /'a, Ti les dérivées partielles -f-î —'> -f- 9 -f- ^ cl
ci a y da-> il Ut, dn^
posons
u ■=. a, A, -h ai Tî -f- a-, r, -f- a^ r^ , V =z ft, /•, 4- §, /-, -h fis i\ -h p4 r, ,
Il II u
-rON DÉS MAXIM A ET DES MiNIMA. 1^5
la variation seconde prendra la formé
Entre les huit constantes a, j3, il existe [(22), n°93] une certaine équation de condition t|/i(p''J = o, que nous n'examinerons point ici. Il est d'ailleurs facile de voir que ces constantes n'entrent dans les déterminants D et Dj que par les six combinaisons
a, B,— ai fi,, a.p, — ajf.,, a, p, -- a< f , , a, p, — xj 6, , a, ^, — a^ p. , «3 j5^ — a, p^ ,
liées entre elles par une relation identique^ car si, au produit de la première et de la sixième combinaison, ou ajoute celui de la troisième par la quatrième, on retrouve identiquement le produit de la seconde par la cinquième. Ajoutons que la variation seconde o^S no contient que le rapport de ces combinaisons, de sorte que le nombre des constantes réellement arbitraires se réduit à trois.
Cela posé, pour l'existence du maximum ou du minimum, il faut :
i^ Que oy n'admette pas de valeur qui rende nulle la variation seconde ^^ S, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de valeurs des constantes «j, «2, or^, a^, diliérentes do zéro, au moinsquant à quebpies-unes d'entre elles, qui ])uissent vériiier l'équation
a. '"i -+- «2 1\ -h aj r^ -f a< r< =: o
aux deux 'limites de l'intégrale, ou, en général, ]K)ur deux valeurs distinctes de x comprises entic ces limites^ 2^ Que la variation seconde ne devienne pas infinie, et, en particulier, qu'on puisse assigner aux constantes a, |3 des valeurs qui ne rendent nul le dénominateur
196 CALCUL DES VAKIATIONS. DISTINCTION j'^ ETC.
Di-=ui^ — ^^V, pour aucune valeur de x comprise èiilrc
jc j^ eL jc^ i
3"^ Que -7-77^ ne change pas de signe entre les limites
de Fintégrale.
Si ces trois conditions sont remplies, il y aura maximum
ou minimum, suivant que la dérivée -7-77^ sera négative ou
positive.
Nous ne parlerons pas ici de la distinction dos maxima et minima des intégrales doid)les; les indications qu'on a données à cet égard n ont guère d'utilité pratique, parce qu'elles reposent sur Pintégrationde certaines équations aux dérivées partielles, intégration qu'on ne sait presque jamais eirectuer.
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