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signe particulier pour indiquer les substitutions à f faire dans une fonction quelconque, et, par ce sim~ \ pie artifice, il avait pu surmonter les obstacles qui î avaient arrêté ses devanciers. Ces obstacles, en effet, \ consistaient principalement dans la difficulté d'exprimer, comme il l'aurait fallu, que dans telle expression donnée on a remplacé l'une ou l'autre [des variables, et souvent même plusieurs variables à la fois, par leurs valeurs limites. La forme sous laquelle M. Sarrus présente la variation d'une intégrale multiple, est moins symétrique que celle de M. Ostrogradsky, mais elle est d'une application plus facile et presque immédiate. Trois exemples donnés > à la fin de son Mémoire avaient suffi pour mettre en évidence les avantages de sa métbode, en montrant qu'elle fournit dans tous les cas l'ensemble des équations dont dépend le maximum ou le minimum d'une intégrale simple ou multiple quelconque.

L'innovation de M. Sarrus, l'introduction d'un signe de substitution, parut à M. Cauchy tellement importante, qu'il s'empressa d'en faire le point de départ d'un nouvel exposé du Calcul des Variations, publié, en i844» dans ses Exercices d'Analyse et de Physique matJiématiquej tome 111, p. 5o. Les formules générales de M. Caucliy sont au fond les mêmes que celles de IM. Sarrus, mais l'emploi plus étendu de la nouvelle notation, et l'adoption d'un signe de substitution double, poui' indiquer la différence entre les résultais d(; deux substitutions simples faites tour à tour, les a beaucoup simj)liiiées. Dans ce premier Mémoire, M. Caucliy s'élail borné à éta-

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blir les principes et les équations fondamentales, il avait réservé pour un second les applications qu'il voulait en faire; malheureusement, ce second Mémoire n'a jamais paru.

Malgré toute notre admiration pour M. Cauchy, nous n'avons pas pu nous résoudre à adopter sa définition nouvelle et généralisée de la variation d'une fonction ou quantité. « Lorsque plusieurs fonctions^ou quantités, dit-il, page 02, peuvent changer simultanément de valeurs et de formes, leurs variations sont de nouvelles quantités ou de nouvelles fonctions dont les rapports sont égaux aux limites des rapports entre les accroissements infiniment petits des variables et des fonctions proposées. > Sans doute que cette conception élargit le domaine du Calcul des Variations et va jusqu'à lui faire comprendre le Calcul différentiel qui n'en est plus qu'un cas particulier; mais cette généralisation, avantageuse peut-être au point de vue métaphysique, n'a-t-elle pas le grave inconvénient de rendre plus vague encore et plus insaisissable l'idée déjà trèsabstraite de la variation d'une fonction? Quand on ne restreint pas la notion de variation aux changements de forme de la fonction elle-même, quand on ne l'isole pas des changements de valeurs des variables dont elle dépend, on se voit plus tard dans la nécessité de distinguer plusieurs sortes de variations : variations totales, variations partielles, variations propres de M. Cauchy, imriations tronquées de M, Sarrus, elc, etc.

Nous avons donc conservé à la variaiion la sianifi-

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cation e^ssentielle que lui attribuaient Euler et Lagrange; nous la faisons dériver essentiellement du I changement de forme apporté à la fonction. De plus, I nous écartant encore sur ce point de M. Cauchy, pour i rester fidèle à Euler, nous faisons dériver le chan- I gement de forme de la fonction du changement de I valeur d'un paramètre avec lequel elle est intime- I ment liée, au moyen duquel nous pouvons l'amener à coïncider avec toute fonction donnée des mêmes variables, ou à passer d'une manière continue d'une première forme à une autre forme quelconque. A ce point de vue, la variation pouvait être pour nous soit la différentielle, soit la dérivée de la fonction, relative au paramètre -variable; nous avons écarté la signification différentielle, afin de ne pas tomber ' dans les infiniment petits ; et pour nous, par conséquent, la variation est une dérivée partielle relative au paramètre variable; mais une dérivée qui n'a de sens qu'autant qu'elle se rattache à un changement de forme de la fonction, qui naît réellement de ce changement de forme et disparaît avec lui. Ajoutons, qu'entre la différentielle ou la dérivée le choix était complètement arbitraire; dans la substitution de l'une à l'autre, il n'y a, en effet, rien de changé ni dans les raisonnements, ni dans les équations finales, ni dans les conclusions.

En étudiant attentivement les travaux de M. Sarrus et de Cauchy, nous avons découvert qu'on pouvait abréger grandement les écritures et les formules, souvent fort longues et fort compliquées, en introduisant une notation symbolique qui permît de réu-