X -•) ne prenne pas deux fois une même valeur entre

les limites .r,, x^. Or, cette fonction exprime l'abscisse du point où la tangente à la chaînette rencontre l'axe des x. Donc, en admettant que A et B {fi§. 3, p. 2i3) soient les points extrêmes de l'arc de chaînette que l'on considère, si par le point A on mène à la chaînette une tangente IV. ,4

AC qui rencontre l'axe des j: en C, et par le point C une seconde tangente CD qui louclie la chaînette en D, D sera la limite que la seconde extréuiité B ne peut ni atteindre ni franchir sans que Tare AB cesse d'avoir la propriété d'engendrer une surface minima. En d'autres termes, il faut que les tangentes menées à la chaînette aux deux points extrêmes A, B se coupent au-dessus de Taxe de révolution, sans cela le minimum n'aura pas lieu.

Lorsque cette première condition est remplie, on peut affirmer que l'intégrale proposée est un véritable minimum, puisque la dérivée seconde

rCvSle constamment positive.

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de mener entre deux points A et B [fig. 2), situés à dislance égale de Taxe XX', une courbe telle, que l'aire eugcndiée par sa

Fir

révolution autour de cet axe soit un minimum. Prenons

sur cet axe un point C également distant de A et de B, et menons les droites CM, CN, faisant Tune et l'autre un angle de 56*^ 28' avec Taxe XX'. Cela posé, le problème de minimum n'aura pas de solution si les points A, B se trouvent en dehors de l'angle MCN. Lorsqu'ils sont compris dans cet angle, la courbe cherchée est une chaînette tangente aux deux droites CM, CN- Or, par les points A, B on peut évidemment faire passer deux chaînettes distinctes MABjN, AM'jN'B, tangentes l'une ei l'autre à ces droites. Sur la première les points de contact M, N se trouvent au delà des points A, B ^ sur la seconde, au contraire, les points dv. contact M', N' son; compris entre A et B. C'est la première chaînette qui donne seule la solution du problème.

On comprend d'ailleurs facilement pourquoi la chaînette AM'ivM^ ne peut pas être la courljc cherchée; car, en admettant qu'elle donnât le minimum, et en prenant sur elle deux points «, A au-dessous de M', IN' et à âas distances égales de l'axe XX', ce ne serait plus l'arc «Z>, mais la nouvelle chaînette aninh qui donnerait le minimum, et ainsi de suite.

iOo. Nous ajouterons encore quelques C07isidéra lions géométriques qui serviront à répandre une nouvelle lumière sur les résultats de cette discussion. La difîérenlielle de l'aire U engendrée }iar la révolution de la chaînette étant

<-/U := 2.7ry \/i -hr'^<:/x,

si l'on exprime dx par dj et qu'on élimine sj i -f-y'' au moyen de l'équation (i), on aura

dx}=. '"•'•'''-''

si y' — n'

•2 12 CALCI3L DES VABIATIONS.

et eu iutégraut

const.

Si Taire U et les abscisses x sont comptées à partir du cercle engendré par la plus petite ordonnée j = a, cette expression deviendra

Ur=7r( JV^^2— û=-+-fl^) — 7rfl(jj'+a:),

x^Y étant les coordonnées de l'extrémité de Tare. Si par le point X, j ou D (Jig. 3) on mène une tangente à la chaînette, la partie de cette tangente comprise entre la courbe et l'axe, ou la droite DC, sera

et la surface conicjue engendrée par cette droite

La diflérence cks deux surfaces engendrées par Tare PD et la tangente CD est donc

En désignant par U^ , Kj les surfaces engendrées par Tare AP et par la tangente AC, on trouve de même

U, — K, = — TTfl.OC.

Ajoutant et transposant, il vient

Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

Si par nii point C pris sur la direciricc d^unc chat-

COURBES PLANES. 2l3

nette on mène deux tangentes CA, .CD à la chaînette, l'arc AD et la ligne brisée ACD décriront des surfaces égales en tournant autour de la directrice.

L'analyse nous a démontré que l'arc de cliaînelte cosse d'engendrer une surface de révolulion mininia, lorsqu'il s'étend depuis A jusqu'à D, et il est maintenant facile d'en trouver la raison. En diminuant très-peu et dans un même rapport le paramètres et les distances CA, CD, CO, on détermine les troispoints A', D', O', ainsique la nouvelle chaînette A' D' ayant son sommet au-dessus de O' et tangente aux droites CA, CD dans les points A', D'. D'après le théorème que nous venons de démontrer, l'arc A'D' et la ligne brisée A' CD' décriront aussi des surfaces de révolution égales. On pourrait donc, sans altérer Taire de la surface de révolution, substituer à la chaînette AD le polygone mixtiligne A A' D'D, qui en différera aussi peu qu'oji voudra, et en continuant ainsi on passerait par des déformations insensibles de la chaînette AD à la ligne brisée ACD. On pourrait même aller plus loin et substituer à ACD des courbes qui descendissent au-dessous de Taxe des x ; l'intégrale proposée prendrait alors des élé-

2l4 CALCUL DES VA.RIATIOJNS.

œents négatifs et serait susceptible de diminuer sans limite.

Si le minimum analytique cesse d'avoir lieu pour Tare de cliainette AD, c'est parce qu'on peut la déformer d'une manière continue sans que la surface de révolution augmente, et non pas parce qu'il existe d'autres courbes d'union entre les points A et D qui donnent des surfaces plus petites. Pour l'arc de chaînette AB toutes les conditions analytiques du minimum sont remplies, quoiqu'il soit certain qu'on peut mener entre A et B une infinité de courbes qui, sous la condition de franchir l'axe des x^ et quelquefois même sans cette condition, donnent pour l'intégrale proposée des valeurs plus petites. C'est qu'on ne saurait déformer l'arc AB par degrés insensibles sans que la surface de révolution augmente d'abord, sauf à diminuer ensuite^ et t<'l est, à proprement j)arler, le caractère analytique du minimum. En général , dans le calcul des variations, comme dans le calcul dillérenticl, le maximum ou le minimum analytique n'est pas toujours la plus grande ou la plus petite de toutes les valeurs possibles, et il peut y avoir quelquefois plusieurs maxima on mini m a,

PllOBLKME IV.

101). Parmi toutes les conrhes de mente longueur^ trouver ceUc qui par sa réi^olution autour d*un axe n'otiiic eîi gendre la plus gratifie ou la plus petite surface.

Pienons l'axe de révolution pour axe des x. La longueur de la courbe et la surface engendrée par sa révo-f lu lion étant respectivement

/ v/ 1 -h .r ■ ' fix et 2 77 /r s/ 1 -h y (ijo , le problème se ramèiu; à chercher le maximum ou mini-

mum absolu de l'intégrale

COURBES PLANES. 2l5

dans laquelle c est une consianle dont on disposera pour donner à la courbe la longueur assignée. Ici :

comme la variable indépendante x n'entre pas explicitement dans V, Téquation indéfinie

s'intègre immédiatement une première fois et donne

Y — C V P, j' -=r «, OU —p=z==z=: a,

V ' -hj' De cette équation résolue par rapport ky' ou -f-? on

tirera d'abord la valeur de dx exprimée en dy^ on intégrera et, après quelques transformations semblables à celles de l'exemple précédent, on trouvera

a et h élantdes constantes arbitraires. La courbe est donc encore une chaînette, dont la directrice, parallèle à l'axe de révolution, est située à une distance égale à la valeur numérique de c, au-dessus ou au-dessous de cet axe, suivant que c est positif ou négatif.

Lorsque les points exlrètncs sont fixes, on détermine les constantes /2, Z>, c par les conditions (jue la chainetlc doit passer parées points et avoir une longueur donnée. Or, il est en général possible de satisfaire à ces conditions, de deux manières dlficrentes, ou par deux cliaînettes dont l'une tourne sa concavité et l'autre sa convexilé vers l'axe de révolution. La première chaînette

2l6 CALCUL DES VARIATIONS.

donne la plus grande, la seconde la plus petite surface de révolution, puisque j — c, et par conséquent la dérivée seconde

reste, entre les limites de l'intégrale, constamment négative si la courbe est concave, et constammeïit positive si la courbe est convexe vers Taxe des .r, pourvu toutefois que dans le second cas la chainetle n'atteigne pas l'axe de révolution.

Admettons maintenant cjue les points extrêmes ne soient pas fixes, mais qu'ils puissent se déplacer sur deux . courbes données*, soit r=z{(^x) Féqualion de Tune ou l'autre de ces courbes, on aura pour l'extrémité située sur cette courbe

V— [/ — r{x)]p, =0, ou i-i-yf^.r) = o.

Une équation semblable aura lieu pour la seconde extrémité, et l'on en conclura que la chainette doit couper normalement chacune des courbes limites données.

ROBLEME

107. Parmi toutes les courbes de même longueur, trouver celle qui^ par sa révolution autour dun axe donné, engendre le plus grand ou le plus petit volume.

Prenons l'axe de révolution pour axe des.r. L'expression de l'arc étant f \l i -r-y'^ dx^ et celle du volume engendré par sa révolution zfj^dx^ le problème revient à, chercher le maximum ou le minimum absolu de l'intégrale

J 0 ' — «>/» -i-j")^^'^- Ou a

Y ^z^y — fi\.' i -^ y'' ^ V=^ij, P

COURBES PLAMES. - 21 J

Puisque V ne renferme pas la variable indépendante x^ on peut immédiatement abaisser d'une unité l'ordre de

l'équation indéfinie P -r-^ = o, en écrivant à sa place

V — P,y=c (n° 61 ). Substituant alors à V et à P^ leurs valeurs, on trouve

c'est l'équation différentielle de la courbe élastique. Son intégrale en x et j ne peut pas être obtenue sous forme finiej mais en diflérentianl l'équation (i) et désignant par p le rayon de courbure, on trouve

ay" a a

La ligne qui parmi toutes les courbes de même longueur engendre le plus grand ou le plus petit solide de révolution., est donc caractérisée par cette propriété qu'en cbaque point son rayon de courbure est en raison inverse de l'ordonnée.

Les points extrêmes de la courbe peuvent être fixes ou mobiles sur des lignes données. Dans l'un et l'autre cas, les constantes arbitraires seront déterminées d'une manière analogue à celle que l'on a suivie dans les exemples précédents.

La dérivée seconde

donJ le signe dépeiu! uni((ucmcnl de celui de la constante

Î»l8 CALCUL DES VARIATIONS.

û, montre qu'il faut prendre a positif pour obtenir le maximum, négatif pour obtenir le minimum de volume.

Problème VI.

108. Trouver une courbe telle ^ que la surface engendrée par sa révolution autour d\in axe donné étant constante, le volume contenu soit maximum, ou minimum.

Soient X, y los coordonnées d'un point quelconque de la courbe, l'axe de révolution étant pris pour axe des jc; il s'ai^il de déterminer j^ en fonction de a:, do manière que jy V I -^y^ilx avant une valeur donnée, Jy^ dx devienne maximum ou minimum, ce qui revient à cherclier le maximum ou le minimum absolu de l'intégrale

On a

V =y^ — lay ^/T+P^, P = 2 ( j — « sj \ -\- ^ 'J^ayy' d^V lay

y/,|-y-' df

et Ton \oit déjà cpi'il faut supposer la constante a positive pour obtenir le maximum, négative pour obtenir le minimum. Dans l'un )U dans l'autre cas, la fonction j

doit satisfaire .. l'équation différentielle du second ordre

^/p P ~ = o, ([ue l'on peut remplacer immédiatement,

puis(pie V ne ronfenne pas la variable indépendantes, par l'équation dilïercntielle du premier ordre

V — p,y = c, ou

lay

Telle est donc Féquation différentielle de la courbe cherchée. Elle ne permet pas d'exprimer j en a: au moyen des fonctions dont on se sert dans l'analyse élémentaire, mais il est facile d'en tirer une relation finie entre l'arc s et l'ordonnée. En effet, l'équation (i) étant mise sous la forme

as on en lire successivement

ds 2 fljK ^^-y ' 2 UJ

ds =zz±: — ,

\'i^iy^~{j'~-cy

et, en intégrant,

(3) cos --h/- == . 1 ?

^ I la v/fl'-l- c

A étant une nouvelle constante a ibi traire.

La surface de révolution dont la génératrice est représentée par l'équation (i) jouit d'une propriété remarquable que nous allons indiquer. Si l'on différentie cette équation , en appelant N la partie de la normale comprise entre la courbe cl Taxe des x, et p le rayon de courbure pris avec le signe -h ou avec le signe — suivant que ce rayon fait un angle obtus ou aigu avec les y positifs, c'est-à-dire suivant que la courbe est concave ou convexe vers Taxe des x, en sorte que

on trouve saijs peine

Or p et N sont évidemment les deux rayons de courbure principaux de la surface de révolution-, la dernière équation exprime donc qu'en chaque point de cette surface la

courbure moyenne est constante et égale à Nous verrons plus tard que celte propriété appartient en général à toutes les surfaces qui sous une étendue donnée renferment un volume maximum.

109. M. Delaunay a donné (Journal fie Lwuuille, VI, 3i5) une interprétation géométrique très-élégante de i'équation (i) en montrant qu'elle a])particnt à une courbe décrite par l'un des foyers d'une ellipse ou d'une hyperbole qui roule sans glisser sur l'axe des x.

En eiïet, supposons qu'une ellipse dont les demi-axes sont ael b roule sur l'axe des x. Son foyer F décrit une courbe qui, d'après une propriété générale des épicycloïdes, a pour liOrmale la droite menée du point F au point K où l'ellipse mobile touche l'axe des x. En désignant par x^ y les coordonnées du foyer F et par r le rayon vecteur FK , on a donc

, dx

le second membre devant être pris avec' le signe -h ou avec le signe — , suivant que le point de contact K se trouve à droite ou à gauche (vers les x positives ou les x négatives) de l'ordonnée j^. Désignons parj^j l'ordonnée du second foyer F, et par r^ le rayon vecteur F, K mené de ce foyer au point de contact K- les deux rayons vecteurs r, i\ faisant des angles égaux aveo l'axe des x, tangent à l'ellipse an point K, on aura de même

Ajoutant et remplaçant r -+- r, par 2a, il vieiit

On a d'ailleurs

Eliminant j)^i, on trouve

Telle est donc l'équation diflerenticUe de la courbe décrite par le foyer F.

On trouverait une équation semblable pour la courbe décrite par le second fo3^er Fi, avec la seule différence que si Ton prend le signe supérieur pour la première courbe, on devra prendre le signe inférieur pour la seconde, et "vice versa. Les courbes décrites par les deux foyers ne diffèrent, en effet, que par leur position.

11 suffirait de changer b^ en — l)~ et d'écrire

, ^ . dx

(5) j^z^2.aj- ù^=zo

pour avoir l'équation de la courbe décrite par l'un ou par l'autre des foyers d'une hyperbole qui roule sur l'axe des a:.

L'équation (1) pouvant être idenlifîéc avec (4) ou (5) suivant que c est négatif ou positif, on arrive ainsi au théorème suivant :

La génératrice de la surface de résolution qui sous une étendue donnée renferme le plus grand ou le plus petit 'volume, est une courbe décrite par le foyer (ïune ellipse ou d'une hyperbole gui roule sans glisser sur l'axe de réi^olution.