Les trois coiislantes arbitraires conlenues dans

la solution générale du problème seront déterminées de diverses manières selon les restrictions imposées aux limites. Examinons quelques cas en particulier.

1° Les points extrêmes sont fixes. — Dans ce cas la variation de l'intégrale ne fournit pas d'équations aux limites, mais les constantes se déterminent par la condition même que la courbe doit passer par les deux points donnés et que la surface engendrée par sa révolution doit avoir une aire déterminée.

2° Ijune des extrémitcs de la courbe est fixe et Vautre variable. — Les coordonnées de l'extrémité variable doivent (n^ 56) vérifier les deux équations aux limites

La relation générale V — PiJ' ' = c donne alors c = o, ce qui réduit Téquation (i) à

la \

L'ordonnée y ne pouvant pas être constamment nulle, puisque sa valeur csi domu'e pour la piemière limile, il est permis de supprimer le facteur^'. Résolvant ensuite

par rapport a y ou -7- 5 on Ijouve

d.T =r rt — -,

et en intégrant,

équation dun cor("le de rayon 2a, ayant son centre sur l'axe des x.

Si l'on remarque en outre que les équations P, = o, V = o ne peuvent subsister en même temps pour Textrémité vnriabl(! (|u'anlant que son ordonnée j sera nulle,

on en conclura que la courbe est dans ce cas un arc de cercle qui aboutit d'un côté à l'axe de révolution, et dont le centre se trouve sur ce même axe.

3° La courbe doit aboutir des deux côtés à une droite parallèle à F axe de révolution. — Les valeurs limites de y étant données et celles de x restant variables, on a pour chacune des limites la condition