V - P, / = G qui revient à

On en conclura, comme dans le cas précédent, que la courbe est un arc de cercle ayant son centre sur Taxe des X.

L'arc de cercle devient une demi-circonférence lorsque la droite sur laquelle doivent se trouver les points extrêmes coïncide avec l'axe de révolution. Il en résulte que de toutes les surfaces de ré\^olution la sphère est celle qui sous une étendue superficielle donnée renferme le plus grand volume.

111. Dans le premier cas, le problème présente une circonstance singulière lorsque les points donnés A el B entre lesquels il faut mener la courbe, sont situés sur l'axe même des x, c'est-à-dire lorsqu'il s'agit simplement de construire sur une base donnée AB une courbe lelle, que l'aire de la surface engendrée par sa révolution autour de la droite AB étant donnée, le volume contenu soit un maximum. En effet, puisque alors la valeur j^= o des deux ordonnées extrêmes doit vérifier Téqualion générale (i), la constante c sera nulle et cette équation deviendra celle d'un cercle ayant son centre sur l'axe des x. Le solide de révolution serait donc une sphère construile sur le diamètre AB, solution impossible, puisque cette

2 24 CALCUL DES VARIATIOÏSS.

sphère a une surface déterminée que Pou ne peut pas faire égale à une autre aire donnée.

Ce fait analytique a paru étrange à quelques géomètres, parce que, dans leur opinion, le problème doit évidemment admettre une solution, et ils en ont proposé récemment des interprétations très-différentes. M. Jellett en conclut simplement que le calcul des variations est en défaut j M. Air}^ croit lire dans les formules qui renferment la solution du problème que la courbe se compose de deux parties distinctes, à savoir d'une demi-circonférence de rayon convenable pour engendrer l'aire voulue, et d'une portion de l'axe môme de révolution. De leur côté, MM. Todliuntcr et Cliallis, admettant que la ligne qui doit unir les points A et 13 se compose d'abord de deux droites, élevées perpendiculairement /à l'axe aux points A et B, puis d'une courbe joignant les extrémités de ces droites, arrivent également à donner une courbe discontinue comme solution du problème en question.

Aucune de ces interprétations ne nous paraît complètement satisfaisante. L'impossibilité où Ton est de vériiier toutes les conditions du problème indique nécessairement qu'il n'a pas de solution, et, si Ton se place au point (le vue analytique, il n'est nullement étonnant qu'il en soit ainsi. En effet, la courbe en question doit être choisie parmi toutes celles qui font prendre à l'intégrale fyS^i 4-j^'r/j: une valeur déterminée; or rien n'empêche que la courbe soit située en partie au-dessus, en partie au-dessous de l'axe des x, et, par conséquent, que les éléments de l'intégrale^j^ sï^-y^ dx soient les uns positifs, les autres négatifs; l'intégrale elle-même sera alors l'excès de la somme des éléments positifs sur celle des éléments négatifs , et chacune de ces sommes pourra croître sans cesse pourvu que leur différence reste constante. Donc aussi, l'intégrale fj^dx dont on cherche

le maximum et qui n'a que des éléments positifs, pourra croître indéGniment sans que Tintégrale^y sfi^-y^dx change de valeur. De plus, les points A, B étant pris sur l'axe même des a:, il est toujours possible de substituer à une courbe quelconque menée entre A et B une autre courbe infiniment voisine tracée entre les mêmes points, et qui donne pour fj'dx une valeur plus grande, tout en donnant i^our f y sj i -\- y'^ dx la même valeur que la première courbe. Il en résulte que l'intégrale fy^dx n'a pas de maximum , si l'on n'écarle pas avant tout les valeurs négatives de l'ordonnée r compatibles avec la condition imposée à la seconde intégrale Jy \l i -{- j'"^ dx \ or cette absence du maximum devait nécessairement se manifester par une solution impossible.

11 est vrai que si l'on ne considère que des courbes situées tout entières d'un côté de l'axe, la génératrice du solide qui, sous une étendue superficielle donnée, renferme le plus grand volume, sera une ligne composée d'une portion de l'axe et d'une demi-circonférence, comme M. Airy l'a suggéré; mais ce résultat, facile à vérifier par d'autres considérations, n'est pas proprement une solution du problème analytique dont il a été question.

Problème VII.

112. Trou\>er la hracliistocîirone ou la courbe de plus vite descente entre deux points.

(Considérons un point matériel soumis à l'action de la pesanteur et. assujetti à se mouvoir le long d'une courbe quelconque. Prenons pour axe des y la direction de la pesanteur, et soient x, j^ les coordonnées du point mobile, s l'arc de courbe qu'il décrit, v sa vitesse, t le temps, g la mesure de la pesanteur on la vitesse acquise pendant IV. i5

Îi26 CALCUL DES VARIATIONS.

l'unité de temps dans la chute libre, on aura

ds di> dy g dy

"~~dt' dt~^dl~v'dt'

et, par conséquent,

l'dc = gdy.

En intégrant, et désignant par .r,, yi les coordonnées du point de départ, par x^, j^ celles du point d'arrivée du mobile, on obtient

k étant la hauteur de chute qui correspond à U vitesse initiale. On a d'ailleurs

ds

dt

Çds ~J ^'

substituant à p* sa valeur, pour obtenir l'expression du temps employé par le mobile à parcourir sa trajectoire entière depuis le point a:,, ji jusqu'au poiut Xa, y,, on voit que c'est l'intégrale

qu'il s'agit de rendie minimum.

Comme celte intégrale renferme la valeur limite y, de la fonction y^ on auia à suivre la marche indiquée n° 63. Appelons, comme à l'ordinaire, V la fonction multipliée par ^x sous le signe intégral, et P, P^ ses déi'ivées partielles prises par rapport à jr et j^', la va-

riation de l'intégrale sera

(V-î.7--f-P,(îj

COURBES PLANËê. i^'- qj^

OU, si Ton se rappelle que (n* 30) • >^. : ^i; .' ^ -j î(V-P./)^x.-hP,^j..j.

On

a d'ailleurs

Cela posé, en égalant à zéro la variation de l'intégrale, on trouve d'abord Téquation indéfinie

qui, mise sous la forme