y' (ly fly

s'intègre immédiatement et donne

<2 élant une constante arbitraire. Résolvant par rapport à

y o\i ■j--> il vient

dx

dx=r.dyk/ —

Si Ton fait

X — Ji + ^" = <ï(' — cosw),

ce qui est toujours permis, puisque la quantité^ — ^i 4-^' doit être comprise entre o et 2a, sans quoi le radical deviendrait imaginaire, il viendra

dx = a[i — cosw )dbi, et, en intégrant,

X — x^ ■+■ h = a[(,) — sinw),

h étant une nouvelle constante arbitraire. Les deux équations simultanées

X — Xy -[- h =a{(0 — sinw)

* jr — j'\ -\- ^ = «(i — cosw)

appartiennent évidemment à une cycloïde qui est par conséquent la courbe cherchée. Il serait facile d'éliminer la" variable auxiliaire w et d'exprimer y en .r-, mais nous préférons la forme (i), parce qu'elle so prête plus facilement à la discussion ultérieure.

113. On lire successivement des équations (i) dx=:a(i — cosw)r/w, <// j= « sinwf/w,

sinw w , w

v' z=z = col —-, I -I- v" = coseo' -•»

I — cosw 2 ' 2

COS<T- — COt -

d~ COt — — COt — ^

Sl7.a

ot), et w, étant les valeurs de &> ^ux deux points extrêmes de la courbe. Par suite de ces relations, les termes aux limites de la variation 3S se simplifient considérablement et deviennent

S.T,~h COt — §J:i S Xi -h cot — êy (2) ~

2 a sjia

Ils disparaissent d'eux-mêmes lorsque les points extrêmes de la courbe sont donnés, puisque alors les variations (Jj:,, oj?2, cJ/i, ^j^ sont nulles^ mais il reste, pour détermincîr les constantes «, //, la condition que la cycloïde doit passer par ces doux points extrêmes. Quant à la constante A, nous avons déjà fait remarquer qu'elle dépend de la vitesse initiale que nous supposons donnée.

Mais si les extrémités de la trajectoire sont seulement assujetties à se trouver sur deux courbes, déterminées par les équations

on aura

et les termes (2) égalés à zéro fourniront les deux équations aux limites

il -+- <ï)'(jr,)cot -i r= o,

I 1 -h 4/'(x,)cOt — = G,

qui serviront à déterminer les deux constantes a et h. En éliminant cot —^ on trouve la relation simple

23o CALCUL DES VARIITIOWS.

exprimant qu'aux entremîtes de la trajectoire les deux courbes limites ont leurs tangentes parallèles. Comme on a d'ailleurs en général

COt-)

la seconde équation (3) prouve, en outre, que la cycloïdc est normale à la seconde courbe limite au point d'arrivée du mobile.

Supposons, par exemple, qu'on veuille trouver la ligne de plus vite descente entre une courbe AC et une droite BD {fig- 4) situées dans un même plan vertical, et ad-

FiC- 4-

mettons, j)our simplllier, que la vitesse initiale soit nulle. On prendra pour point de départ le point A où la tangente AT à la courbe est parallèle à la droite BD, et l'on mènera par ce point une droite horizontale AD, sur laquelle on fera rouler un cercle de rayon convenable pour que la cycloide ainsi engendrée, ayant son sommet en A, coupe la droite BD sous un angle droit. L'arc AB de cette cycloide sera la courbe cherchée.

114. Passons maintenant cà la variation seconde, et examinons si toutes les conditions de minimum se trouvent réellement remplies. La relation générale entre a: et j

COURBES PLANES. * 23l

qu'on obtiendrait en éliminant « entre les équations (i), renfermant -deux constantes arbitraires a et A, il faut s'assurer d'abord si le rapport des dérivées partielles

— , — ne passe pas deux fois par une même valeur entre

les limites de l'intégrale S, ou lorsque x croît de x^ à x,. Or, si Ton diflérentie les équations (i), en y regardante comme constante et j^, o), a, h comme variables, on aura

dh = (w — sinw)^/rt -i- a (i — cosw)r/w, djr = (^i — COSw)c^« -f-flsinwf/w,

et, en éliminant do),

(i — cosoi) djr = [2. — 2C0SW — wsinw)r/â! -4- sinwd/i ou

sin - dv = Il s\n ces ~ ] da -\- ces - dh,

Faisant tour à tour dh = o^ da =z o, on en tire

dy ( w w\ dy w

^ :^ 0/ , cot -, -£-:,= cot -,

rffl V -y. 1 ) dit X

et, par suite,

2 { I cot

da ' dh O)

cot-

expression qui ( roît conllnuellement de o à -j- 00 et de

— Qo jus([u a — 71, lorsque - croit de o a - et de - a n.

dy dy Le rapport — :— ne prendra donc pas deux fois une

même valeur pendant que- rcsle compris entre o et tt,

OU 0). entre o et a::, c'est-à-dire tant que le point de départ et le point d'arrivée du mobile se trouvent sur une même branche de cycloïde.

En outre de cette première condition remplie, la dérivée seconde

sin^ —

df^

est essentiellement positive, et ne devient jamais infinie^ la solution (i) donne donc un véritable minimum.