DIXIÈME LEÇON

Suite de la recherche des courbes planes. — La courbe i*apportée à des coordonnées polaires. — Cas où l'on prend l'arc pour variable indépendante,— Solide de révolution qui exerce la plus grande attraction sur un point donné et dans une direction déterminée. — Courbe qui renferme avec sa développée et ses deux rayons <ie courbure extrêmes l'aire minima. — Courbe qui a le plus grand ou le plus petit moment d'inertie par rapport à un point donné. — Équilibre d'un fil flexible et inextensible. --.

115. Dans les problèmes résolus jusqu'ici, nous avons rapporté l'équation de la courbe cherchée à un système de coordonnées rectangulaires x^y^ enregardantj^ comme une fonction inconnue de x. Rien cependant n'empêche de choisir autrement les coordonnées, et il est quelquefois plus commode de remplacer^r, )^ par des coordonnées polaires r, 0 -, r désignant le rayon vecteur d'un point de la courbe ou sa distance à l'origine, et 0 l'angle que ce rayon fait avec un axe fixe. Il s'agit alors de déterminer r en fonction de 0, de manière à rendre maximum ou minimum une certaine intégrale JYdQ^ dans laquelle V

peut contenir t^, r, —, -jr^t'" ' et pour résoudre le problème sous cette nouvelle forme, il suffira de remplacer, dans les formules déjà données (n° 56), Xy y, y,j"^. . . par 6, r, /, r'\ ... -, /, r^', , . . , étant les dérivées de r relatives à 6.

Prenons pour exemple la question suivante , qui est un cas particulier du problème II.

Quelle est la courbe qui sous un périmètre donné circonscrit une aire maxima ?

On peut rapporter la courbe cherchée à un système de coordonnées polaires r, 6. La longueur de la courbe et l'aire circonscrite sont alors exprimées par

et la question revient à chercher le maximum de Tintégrale

Si Ton appelle, comme auparavant, V la fonction sous le signe intégral, et P, Pj ses dérivées partielles relatives à r, r'y en sorte que

. V = r^'— 2 a v^ Tm-t^ î Téquation générale de la courbe sera

et, puisque V ne renferme pas la variable indépendante 6, elle s'intégrera immédiatement une fois en donnant