ar^ V — P.r' — c, ou r
L'origine des coordonnées étant arbitraire, on peut la placer en un point même de la courbe. On aura alors pour ce point r=o, et par suite c = o , ce qui réduit à
l'équation de la courbe en question. On en tire
dB '^ ^4^' — r"
et, en intégrant, : ^"^
r= 2osin(0 -f- /). ■ '"^ ^1'
Pour simplifier davantage, on peut prendre pour axe des coordonnées la tangente à la courbe. On aura alors, pour 0=0,
— = G ou tan" /- == o ,
<■ ce qui donne
/=o et r=:2asinG,
équation d'un cercle de rayon a. C'est donc au cercle qu'appartient la propriété de cont(;nir la plus grande surface sous un périmètre donné. En vertu du choix d'origine et d'axe que nous avons fait, les valeurs extrêmes de B sont o et tt, celles de r sont o j ces valeurs étant données, il n'y a plus d'autres conditions aux limites à remplir.
446. Au lieu de .r ou de 0 on peut prendre pour variable indépendante une autre variable quelconque, par exemple l'arc s de la courbe, qui dans beaucoup de cas se présente tout naturellement pour jouer ce rôle; mais dans chaque choix particulier il faudra user de certaines précautions pour que le changement de la variable indépendante n'altère pas les conditions essentielles du problème.
Considérons, par exemple,* le problème déjà résolu (Probl. III) où l'on cherche la courbe qui, par sa révolution aulour d'un axe donné, engendre la plus petite surface. Si Ton prend l'arc s pour variable indépendante, la surface de révolution s'exprime simplement par Q.'K fycls-^ et il semble au premier abord que la question se ramène à déterminerj)^ en fonction de 5, de manière que l'intégrale J yds devienne minimum 5 cependant, quelles
236 CANCUL DES VAKIATIONS.
que soient les restrictions auxquelles on assujettisse les limites de l'intégrale, ainsi formulé analytiquement le problème est impossible à résoudre, parce qu'il conduirait, pour première équation de condition, à Téquation absurde i = o ; tandis qu'en prenant x pour variable indépendante, nous avons obtenu une solution réelle, à savoir une chaînette ayant pour directrice Taxe des x.
Cette discordance apparente s'évanouit devant une analyse plus approfondie. 11 est vrai que dans l'équation d'une courbe quelconque on peut toujours regarder l'ordonnéey comme une fonction de Tare 5 , mais le contraire n'a pas lieu, c'est-à-dire (ju une relation analytique donnée entre y et s ne peut pas toujours représenter une courbe. En eiiet, l'accroissement positif ou négatif Aj' de l'ordonnée ne pouvant jamais être plus grand que l'accroissement A5 do l'arc, la dérivée -|-i dans l'étiuation d'une
as
courbe quelconque, ne peut avoir une valeur positive ou négative plus grande que Tunité, ou ne peut varier qu'entre les limites -|- i et — i . Il en résulte que l'équation
V =: fl -4- bs , dans laquelle /> ^ i ,
(ît une infinité d'aulrcs relations cnlie j et s^ sont géométriquement impossibles. Cette rcmarcjne très-simple réduit notablemeni le nombre des formes que pourra prendre l'ordonnée exprimée en fonction de s. Si l'on n'en tient pas compte, si Ton admet indistinctement toutes les' relations analytiques entre y et 5, sans écarter celles qui n'ont pas de signification géométrique, il pourra donc; arriver qu'une intégrale n'ait plus de maximum ou de minimum, quoique la grandeur géométrique qu'elle représcnite doive en avoir : et c'est en effet ce qui reiid cliimérlque la reclierclie du minimum de l'intégrale y^^f^^.^.
ou — doit être comprise entre -h i et — i. On Tiii-
» COURBES PLANES. iZ']
447. La conséquence de ce qui précède est que dans tous les cas où l'on clierclie une relation entre l'arc s et Tune des coordonnées x, y, que l'on prenne Tare s pour variable indépendante ou pour fonction à déterminer, il faudra, pour rétablir l'équivalence entre la question analytique et le problème géométrique dont elle est la traduction, introduire la restriction nouvelle que la dérivée
dx dy __ ou — as ds
troduira très-simplement en regardant x, y comme des
fonctions de s assujetties à vérifier Téquatiou
dx^ dx^ 'dJ^'^'d? — ''
et il ne restera plus qu'à chercher les formes de ces fonctions qui conviennent à la question proposée. Dans ces conditions, le problème de la surface de révolution minima se présente sous ce nouvel énoncé analytique :
X et y étant deux fonctions de s assujetties à vérifier V équation
dx- dy^
Âî + rfT' -■ = <>'
déterminer les formes de ces fonctions de telle sorte que Vùitégrale fjds soit un mininiuni • et il se ramène, par conséquent, à chercher le minimum absolu de l'intégrale
ds .
X étant une fonction de s inconnue mais invariable de forme, dont on disposera pour satisfaire à la condition
d.x' dy ds^ ds''
238 CALCUL DES VARIÀTIOKS.
Résolu SOUS celte forme, le problème nous ramènerait à la chaînette, comme dans le cas où x était la variable indépendante.
118. Ces considérations sont tellement importantes, leur application se présente si fréquemment, qu'on nous saura gré d'exposer plus en détail la marche à suivre lorsqu'on veut déterminer une courbe plane jouissant de quelque propriété de maximum ou de minimum, en prenant Tare s pour variable indépendante. Soient x, y les coordonnées rectangulaires d'un point de la courbe, x\ x" ^ . . . y' ^ y" ' ' ' 1^'^ dérivées successives de x et de j^ prises par rapport «î 5, et supposons qu'il s'agisse de déterminer X ety en fonctions de j, de manière à rendre maximum ou minimum l'intégrale
Les fonctions inconnues j:,j^ étant liées entre elles par la relation .ï/*-f-j)^* — i =0, il faudra à F (5, x, x', ^^yo '1 J"^0 ajouter le terme X(x'*-|-y'^ — i), 1 étant une fonction indéterminée de 5, de sorte (juc le problème reviendra à chercher le maximum ou le minimum absolu de l'intégrale
dans laquelle
( * ) Comme le point à partir duquel l'arc est compté est complètement arbitraire, on pourrait, sans diminuer la gcncralitc des formules, faire s^ =0, s^=. s, s étant la longueur entière de la courbe ; mais nous conserverons aux limites 5,, s. leur notation ordinaire, pour que les formules perdent moins de leur symétrie.
Désignons respectivement par P, P,, P^, Q, Q,, Qg les
dérivées partielles de V prises par rapport à a:, x' ^ x" ^ y-^y' tï" \ ^* variation de l'intégrale sera
pourvu qu'on comprenne sous le symbole às^ tantôt la variation de s^^ tantôt celle de ^s? suivant la substitution qui Faffecte (n° 25). Égalée à zéro, cette variation donne d'abord les deux équations indéfinies
jointes
à la
ds dQ
ds'
lesquelles
ds .' ds' condition
serviront à déterminer les fonctions x, j^, A.
Lorsque la fonction F ne renferme pas l'arc 5, les équations (i) admettent toujours une intégrale première facile à obtenir. En effet, dans la dérivée totale de V
le dernier terme disparaît, puisque 1 n'entre dans V que
SOUS forme linéaire et qu'on a
dl
=:ar"-f- j'?— 1 = o.
Substituant à P, Q leurs valeurs tirées des équations (i), on aura donc
ds
expression qui se compose de quatre dérivées exactes. et qui donne par l'intégration
• ds ds
A étant une constante arbitraire.
119. Pour tirer plus facilement parti des termes aux limites de^S, nous y remplacerons d'abord les valeurs
limites des variations dx^ Jr, —7-^5 — —<, par les varia- ^ ^ ds ds ^
lions des valeurs limites de x^ j, x\ y'. Désignons par
Ç, £', yj, W les valeurs de x, x! ^ j, y' correspondantes à
l'une ou à l'autre des extrémités de la courbe, en sorte
que l'on ait
le signe de substitution devant porter tantôt l'indice s^. tantôt l'indice ^2 , nous aurons, en prenant la variation des deux membres (n° 30),
6^, = j (Sa:-\-j:'§s), ^Ç' = / (^ + ^''^^V
11 en résulte qu'on peut, sous le signe de substitution, dans les termes aux limites de (ÎS, remplacer âx, ôy, (IS.T dSy .
"dT'' ~7~ P^*' *^^ valeurs suivantes :
-v *,. , ^ dS X „ ,
ôj: = S^ — a:'Ss, — — z=z S^—x'^Ss,
d> :^Sn~ ySs, '^ = Sr/--y'Ss-
ds
Hz ~ds
ces termes deviennent alors
Or, en vertu de Téqualion (2), le coefficient de ds n'est autre chose que la constante Z; on a de plus
/ -^.V =z X- [S s, — rî .V, )~k§ [s, — S,
•S — ^1 étant précisément la longueur entière de la courbe. Donc les termes aux limites de d^ prennent la forme définitive
msr
Nous pouvons dès à présent et avant tout faire une remarque imporlanle. Lorsque la longueur s^ — s^ de la courbe est déterminée, le terme kô[Si — .?•, ) disparaît avec la variation 0 [s^ — s^) qui est nulle*, mais chaque fois que la courbe est variable de longueur, ce terme égalé à zéro luurnil la condition
242 CALCUL DES VAHUTIOWS.
qui réduit l'équation (2)3
120. Voyons quelles sont, pour quelques restrictions particulières, les équations aux limites que la courbe doit vérifier.
1° La courbe doit être menée entre deux points fixes. — Les valeurs limites |, yj de a:, j'" étant données, on a c?^ = o, dri=:o. Il est vrai que la relation générale xf^ -\- j'* =^i entraîne pour les valeurs limites dex', y' une relation pareille, ou J''-l- >/'' = i, d'où il semble résulter que les variations J^', dr/ sont liées entre elles par la condition
mais comme on a déjà tenu compte de celK.' dépendance générale entre 3cf ci y' au mojen du facteur indéterminé)., on n'a plus à s'en occuper, et il est permis de regarder dès à présent o\'^ ^W comme arbitraires et indépendants l'un de l'autre. Les termes en ^'i\ ^r/dela variation de rinlégrale fourniront par conséquent pour (bacuiuî (les limites les deux conditions
(3) l>.r:-:o, Q,=rO.
2" La direction de la tangente à la courbe en chacun des deux points extrêmes est donnée, ces points restant eux-mêmes indéterminés. — On a dl' = o, or/ =: o, tandis (jue ol et dr] sont arbitraires. Les équations à vérifier pour cliacune des limites seront par consé<juenl
(iV. i/Q,
3° La ligne cherchée doit aboutir à deux courbes fixes , — Soit f (j:, y) = o, l'équation de \\\\\e de ces courbes limites, les coordonnées |, r, de rextrémité correspondante de la ligne cherchée seront assujetties à la restriction
qui établit entre leurs variations une dépendance mutuelle exprimée par
fit dr,
Les termes aux limites en oÇ et ^Ti donnent d'ailleurs pour l'extrémité que l'on considère
ou, en éliminant o^ ou c^/},
ds ^ ds
d^ dn
Dans le cas particulier où la courbe limite serait une
^ ..,,.. dï d{ . .
droite, les dérivées -—5 — - seraient constantes: de i)lus,
d^ drt
si cette droite était parallèle à Taxe desx, — - serait nulle, et l'équation (5) deviendrait
ds
elle se réduirait, au contiaiic, à
dO, as
si la droite, était perpendiculaiie à l'axe des x.
iG.
244 CALCUL DES VAllIATIOKS.
On aura en outre, pour la limite dont il s'agit,
chaque fois que Ton n'aura pas fixé la direction que la tangente à la courbe cherchée doit avoir an point extrême.
Problème VIII.
121 . Trouver la forme que doit, prendre un corps liomogène de volume donné, pour que V attraction qu'il exerce sur un point matériel A, dans une direction donnée AX, soit la plus grande possible.
Nous admettons comme évident : i^ que le point matériel A ne peut pas être séparé du corps, ou qu'il doit être pris soit à la surface du corps, soit dans son intérieur ; oiP que le corps doit être un solide de révolution dont Taxe coïncide avec la direction AX*, et nous nous proposons de trouver la génératrice de ce solide.
Prenons le point A pour origine et la direction AX pour axe d'un système de coordonnées polaires. Soit du nn élément du volume, // sa distance à l'origine, 6 l'angle (jue cette distance fait avec Taxe, ^ l'angle dièdre compris entre le plan méridien de l'élément dv et un plan méridien fixe. En supposant l'attraction proportionnelle à la puissance /i"""" de la distance, on pourra représenter par iJ.u"di' la force avec laquelle le point A est attiré par d^', et par
fffz- p. //"COS &<-/«'
la projcclion de celle foire sur Taxe AX. On a d'ailleurs
r/v rr // sin 0 r/iff/9f/f^^ et par suite
f/f ^~ -j.u"-^"- sin 0 €i^^^Ulud(^d'j.
En inlégranl, i" pai- japporl à ç) <MUre (i (M >.-. oP par
COIKBES PLAN'ES. «245
rapport à u entr^ o et r, r étant le rayon vecteur d'un point quelconque de la surface ou de la génératrice du solide, 3*^ par rapport à B entre o et ::, on trouve pour Fattraction exercée par le corps entier sur le point A,
/=:2 7r/x / — -sinGcoSÔfi^e,
«/o et pour Je volume entier du corps,
V =. iTz l — sin
Qdd.
Cela posé, il- s'agit de déterminer v en foncllon de ^, de manière que, i^ demeurant constant, y soit un maximum, ce qui revient à chercher le maximum absolu de
intégrale
c étant une constante dont on disposera pour donner à i' la valeur voulue.
Ce problème se résout immédiatement, et Téquation de la génératrice en coordonnées polaires est
(i) • r" cosO = c.
Pour fi =z — i cette équation représente un cercle <loiit 1(^ centre est sur AX et dont la circonférence passe par A .
Pour /i = — 2, ce qui est le cas de rattraclion univciscllc, I équation (i) prend la forme
('->,} ' r- = a' cos 0.
'246 CA.LCUL DES VAKIATIOKS.
Telle est donc l'équation de la génératrice du solide cherché, lorsque rattt-action est supposée agir eu raison inverse du carré de la distance. Le point attiré A est situé sur la génératrice, ou sur la surface du solide, puis-
qu'à 6 =zt - correspond r= o. 11 résulte d'ailleurs de
la forme de l'équation (2) que 6 ne peut pas avoir une
valeur positive ou négative plus grande que zh--) et que la
courbe se trouve par conséquent tout entière d'un côté de la droite AY menée par le point A perpendiculairement à l'axe AX.
122. Pour comparer la force avec laquelle le solide ainsi déterminé attire le point A à l'attraction exercée par nue sphère homogène de même niasse s"r un point placé à sa surface, il suftit de calculer, par les formules déjà obtenues, le volume u et la force /'pour le solide et pour la sphère. Jointes à l'équation (2), ces fornmles «lonnent pour le solide en question
L'équation v.w coordonnées polaires d'une splièic du l'ayon ^o, rapportée à un point de la surlace comme origine, étant
/• zrr o a^ ces 0 ,
on trouve de même pour son volume t^o ^^ pour l'altrattion /o qu'elle exerce
Les deux (oi j>s devant .Winv le même volume, on a
COURBES PLAKKS. 247
r = Uq^ et par suite
v/25 d'où il résulte ''^
L'attraction exercée par une masse homogène sphérique sur un point de sa surface'est donc à la plus grande attraction que cette même masse, convenablement moulée et orientée, pourrait exercer sur le même point, comme V25 est à 3, ou à peu près comme 38 à 39. Ce résultat a été indiqué d'abord par Gauss.
Problh:me IX.
123. Troui^er une courbe telle, que V aire comprise entre la courbe elle-même, sa déi^eloppée et ses deux rayons {le courbure extrêmes soit un mininnun.
Soient 5 l'arc et p le rayon de courbure; Taire comprise entre la courbe, sa développée et deux layons de courbure
s'exprimera par - J pds. Prenons l'arc s pour variable indépendante, les coordonnées x, y pour des fonctions à déterminer, et désignons par jc', x" . . . . ,y^/^^ • • • , leurs dérivées successives relatives à .v, ces fonctions seront liées entre elles par la condition
et le problème se léduira à chercher le minimum absolu
de l'intégrale
X étant une fonction de s. inconnue, mais invariable de
forme. On peut regarder p comme une fonction explicite de x", y"^ puisqu'on a
ce qui donne
Cela posé, en conservant les notations dd n^> 118 on trouve '
^'-»)^/>, P=ro, Q=ro,
. / /) Cl x ,
Puisque P et Q sont nuls, les équations iiidélinics deviennent
ou
I 2Ax' 4-p^x" -f-3/-/
a et h étant deux constantes arbitraires. Ces équations jointes à
doivent servir à déterminer x, ) . /.
Rappelons-nous d'abord les iclalioirs générales faciles
COURBES PLACES. I^g
à déduire
reuiarquotis aussi que les équations
donnent
le signe supérieur ou inférieur ayant lieu suivant que le rayon p du cercle osculateur fait un angle aigu ou obtus avec les r ])ositifs.
Cela posé, en éliminant X entre les équations (i), ou trouve
o^y'x'" -..r'y")-\- '^p'j^iy'-^" — -^'r") — ^j' — ^-^''^
équation qui s'intègre sur-le-champ, et donne
ç'^[y' x" — -^^'x") = ^J — ^-i' -f- ^> ou bien
(2) p* ^=: o^ — hx -j- c,
en supposant que la courbe tourne sa concavité en bas, ou vers les y négatils.
Les mêmes équations (1), multipliées respectivement par x" ^y" ^ et ajoutées, donnent d'ailleurs
(lu
f[x"x' ^ y" y") H- 3p- — - (x"--^ >■'''•-) =r nx' n- ^>y" ,
ou
".>. — =: ax -f- oy , (is
(3) :to — ax'^by'=zf,.
k étant une nouvelle couslanle arbitraire.
124. Chacune des équations (2) et (3) peut représenter la courbe cherchée. Pour déterminer les constantes qu'elles renferment, il faut faire intervenir les termes aux limites de la variation de l'intégrale. Si Ton appelle indistinctement J, Ti. '£\ r/ les valeurs de x, j", .7/, y' correspondantes à Tune ou 1 autre des extrémités de la courbe, ces termes peuvent s'écrire
ou, enayantégard aux équations (i), (3),
Comme la longueur .v, — .v, de la courbe n"a pas été fixée à priori, la variation à{s^ — ^1) reste arbitraire, et son coefllcienl A' doit être nul, ce <;ui réduit ré([ualion (3) à
(4) -yr^^ax' -\-hr'.
Telle est donc Féqualion générale de la courbe. Voyons ce qu'elle devient dans des cas particuliers.
i" Lorsqu'un des points extrêmes de la courbe est entièrement indéterminé, que l'on ait fixé ou non la direction de la lang(M)lc en ce point, les vaiiations 0^, 07/ de ses coordonnées reslciU aibitraircs. et leurs cocllicients égn-
lés à zéro dans les termes aux limites donnent
a =z o, b z=zo.
L'équation (4) de la courte se réduit, par conséquent, à p := o^ équation impossible qui avertit que dans ce cas il n'y a point de minimum.
2° Supposons que les points extrêmes A, B de la courbe soient donnés. On a 0^=0, les variations o|', Or/ restant arbitraires (n^ 150, i°): leurs coeflicients égalés à zéro donnent pour les deux limites
P^jc" z= O, p^y" =: G, OH p^x' = O, [■- f' = O,
puisque px" =y, pj" — — oc'. Or x' et j' ne peuvent pas être nuls en même temps, puisque la somme de leurs carrés est égale à l'unité, il faut donc que p s'évanouisse aux deux points extrêmes, ou que Ton ait
afi — Z>.r, H- c =3 o, aj2 — ^-^'i -f- c = o,
Xi , fi^ Xg, j'i étant les coordonnées des points A, i'. Prenons la droite AB pour axe des Xj les coordonnées Ji^fz seront nulles et les équations aux limites, devenues bxi =1 c, bx^ = c, donneront b (xg — Xj ) =^ o, ou Z? = o, et par suite c = o. Les équations de la courbe {2) et (4) se réduisent alors à
p- = ay, 2p z= û.r', et Ton en tire successivement
a'^x'- -=■ 4 (ly
dx- .\ y
Ix- -H dy- <i
dx^s,-±ldY\ '^- '
Il est facile de reconnaître clans cette dernièie équation ré(juati()n d'une cycloïde engendrée par un (cercle de
252 CALCUL DES VARIATIOJNS.
rayon ^ qui roule sur l'axe des x. Comme, en outre, les
extrémités de l'arc se trouvent sur ce même axe, on serait tenté d'en conclure que la courbe cherchée est une branche de cycloïde complète, tracée entre les deux points donnés A et B. Cest du moins le résultat auquel on s'arrète ordinairement.
On ne peut pas se dissimuler cependant que cette conclusion renferme quelque chose d'arbitraire, et qu'au Tond rien ne prouve que la courbe doive se composer plutôt d'une seule que d'un nombre quelconque de cyt:loïdes. En supposant que Ton construise entre A et H [fi^- 5) i , 2, 3. . . . , /? branches de cycloïde ét^ales et con-
Fi{T. f..
sécutives, on trouve pour l'aire comprise entre la courbe, sa développée et ses deux rayons de cou i bure extrêmes,
ou pour l'intégrale - f pds^ des valeurs proportionnelles
Il I 1,- . 1 I- • • j '
a I , -> -7 •••,-: en sorte (lue 1 intciiiale diminue inde-
iîniment et tend vcis zéro, à mesure que les cycloïdes se multiplient et tendent à se confondre avec la droite AB. Il parait donc que la d toi te AB considérée connue la limite d'une infini té de cycloïdes, est une espèce de solution singulière du problème, et que la cycloïde unique ACB ne donne un minimum qu'autant cjuc l'on assujettit la courbe cherchée à ne pas avoir de point de rebroussenient entre A el 1).
y' ConsidiM'ons encore le ca> <m les exlrciiulés A, I)
COURBES PLAKES. ^53
doivent se trouver sur deux courbes données. Les variations J|', Ôyi' étant arbitraires, on a d^abord, comme dans le cas précédent ,
rtj, — Z'X, -f- c' r:r o ,' ay-i — hx-i -k- €•= O y
ou
•2'2 — ^. fi—yx
équation qui exprime que la droite AB fait avec les axes des a: et des j^ des angles dont les cosinus sont proporlionnels à û, h. Les termes aux limites fournissent en outre pour chacmi des points A, B la condition
Or, puisque le point l^ Tj ne peut varier (|ue suivant la courbe limite, cî|, art sont évidemment proportionnels aux cosinus des angles que la tangente à la courbe limite fait avec les axes des coordonnées. La dernière équation, jointe à la précédente, exprime donc que la droite AB est normale à chacune des courbes limites, ou que c'est la dislance la plus courte entre ces courbes. Après avoir déterminé par cette condition les deux points limites A, B, on aura la courbe cherchée, en les unissant par une branche d<! cycloïde complète.
<-nc
PnonLÈMF. X.
125. Trouver la courbe qui a le plus grand ou le plus petit inonieut d inertie par rapport à un point donné.
Prenons le point donné pour origine des coordonnées et Tare s pour variable indépendante, le momenl d incrti(' de la courbe sera exprimé par /(x" -+- y^)ds^ les fonctions X e\ y étant liées entre elles par la condition x'^ -^ y'~ :r=z 1 ; le problème revient donc à chercher \c.
2^4 CALCUL DES VATllATIO>S.
maximum ou le miuimum absolu de Tinlégrale
/ ' îa.-'4-j^-4-/(x''-Hj'=-
dans laquelle X esl une fonction de s de forme inconnue, mais invariable.
On a
V=x--f-j-'-f-/(x"-hj"-~ i),
et les é(iuationsdc la courbe P -! = o. O — — ^ = 0
^ rfx ^ ds
deviennent
auxquelles il faut joindre
Si Ton retranche Tune de l'autre les équations (i), multipliées la première par j, la seconde pnr.r, on trouve
/' [xy' — X y) -4- / ixy" — -c'y) =:r: o , ,
et en intégrant,
(1) \{xY' — x'y)=c.
Les mêmes équations (i), multipliées respectivement par J^^/^ donnent d'ailleurs
.T.x' ^yy' — V = 0, d où l'on tire, en intéi;raiu,
Eliminant X entre les équations (2) et (3), on trouve
(4) {x^-^y- — k)(xy — x'y)=:tc,
équation générale de la courbe cherchée. Il paraît difficile de l'intégrer sans déterminer d'abord les constantes c et A, mais elle conduit à une relation remarquable entre le rayon de courbure p et le rayon vecteur /•. En effet, quand on élimine )/ entre les équations (i), il vient
,ry' -j:c' = l if x" x' j" ) r= zp - :
on prendra le signe supérieur ou le signe inférieur, suivant que le rayon de courbure fera un angle aigu ou obtus avec lesj^'^ positifs (n" 123). En reportant cette valeur dans l'équation (2), on trouve
A^=qzcp,
formule qui montre que la conslante c* doit élre positive ou négative, suivant que la courbe tourne sa convexité en haut ou en bas. L'élimination de A entre cette formule et l'équation (3) donne enfin
Ainsi le rayon d<^ courbure p est une fonction algébrique du (juatrième degré du rayon vecteur r.
\%\. Avant de discuter les conditions aux iimitcîs que la courbe doit remplir dans les divers cas particuliers, remarquons que si l'on appelle ^,75 les coordonnées de l'une ou de l'autre des extrémités de la courbe, on verra les termes aux liTuiles de la variation JS se réduire à
Cela posé, admettons d'abord que la longueur de la courbe soit donnée. Le terme Jiô [s^ — 5,) disparaîtra avec la variation o (s^ — 5,) sans détermination aucune de la constante k. Si Ton suppose en outre que Tune des extrémités soit fixe et l'autre mobile, les coordonnées de la seconde extrémité devront satisfaire aux conditions P^ = o, Qi = o, ou
•/..r'=z:o, Xy' = o,
et comme x\ y ne peuvent pas être nuls à la fois, il en résulte que la fonction / doit s'évanouir à la limite dont il s'agit, ce qui détermine la constante c, car l'équation (2) exige alors qu'on ait c = o. Par suite, l'équation (4) de la courbe devient
xy' — .r'j- = 0, d'où Ton tire, en intégrant,
droite passant par l'origine. Il est d'ailleurs facile de com})rcndre, indépendamment de toute démonstiation, que cette droite donne le minimum ou le maximum, suivant qu'elle se dirige du point fixe vers le centre d(;s coordonnées ou en sens opposé.
127. Considérons en second lieu le cas où Ton se propose seulement de mener entre deux points donnés une courbe telle, que son moment d'inertie soit minimum, sans déterminer d'avance la longueur de la <ourbe. La variation 0 [s^ — .v, ) étant arbitraire, on auia A= o, ce qui fait prendre à l'équation (5) la forme
La courbe joui ( donc de celle propiiété que son rayon de
COURBES PLAKES.. 'l'è']
courbure est proportionnel à la quatrième puissance du layon vecteur.
Ajoutons que l'équation différentielle de la courbe sera
, xdr — rdx
ou, en coordonnées polaires,
icdr
il paraît difficile d'en tirer quelque résultat simple. Problème XL
128. Trouver Ja position d'équilibre d'un fil flexible et inextensible dont les extrémités sont attachées à deuâc points fixes .
On sait, par les éléments de la mécanique, que le fil ne peut être en équilibre qu'autant que son centre de gravité se trouve le plus bas possible.
Admettons d'abord que la densité du fil varie d'un point à l'autre, et désignons par ^ la masse d'une unité de longueur du fil 5 [j. sera une certaine fonction de l'arc s. En supposant Taxe des y vertical et opposé à la direction de la pesanteur, on trouve pour la coordonnée verticale du centre de gravité du fil l'expression
J^ds '
telle est la quantité qu'il s'agit de rendre minimum, tandis que la longueur du fil et, par conséquent, sa masse entière Ji^-ds doivent rester constantes. Donc, si l'on prend l'arc s pour variable indépendante, les conditions du problème seront
J'y.yds=r. min., f^ds .— const., x'^-f- y'^=z 1, IV, 17
258 CALCUL DES VARIATIOKS.
et la question se réduira à clierclier le minimum absolu de l'intégrale
i^{f + c)-^i(x'^~hy'-i)\ds,
c étant une constante et X une fonction indéterminée de s.
Cela posé, on a
et les équations indetinies P — ;- = o, U — = o
^ as ^ ds
deviennent
d.lx'
2 — — - = O , ds
d.yy '■-dT-^^'
Kn intégrant <»t faisant, pour alw^éger,
. M::=fi.ds,
on trouve
^ ( 2.iy = m-hb,
a et b étant des constantes arbitraires. Elevées au carré et ajoutées, les équations (i) donnent
^t, par suite, en élirainaTjt il,
ads ,
<ix — =t 5
dj = -t , . - ■ ■
\ja^-i- (M H- bf
Lorsque la fonction |u. est connue, on peut intégrer ces équations, et obtenir x, y exprimées en fonctions de s. En éliminant s on aura ensuite l'équation de la courbe cherchée. ^
129. Mais on peut renverser la question et demander quelle doit être la loi de densité, ou la fonction /ui, pour que le fil se dispose suivant une courbe déterminée. En divisant Tune par l'autre les équations (2), on trouve
ax X
l't en dilïercntianlpar rapport à s
\dx)
L'équation de la courbe étant donnée, on peut exprimer Je second membre en fonction de 5, et déduire ainsi la forme de la fonction ^. Si l'on demande, par exemple, que la courbe soit un arc de cercle de rayon r, on aura
dy s
-7- = lang-
l'arc s étant compté à partir du point le plus bas, et, par conséquent,
- sec- -'
Telle doit être la loi àv. densité du fil, pour que, dans son état d'é<]uîlil)rc, il nlfecte un arc de coih le.
130. Supposons maintenant que la densité soit constante. Si l'on lait ^. = 1. on auta M = 5*, substituant cette vaicur dans les é({ualions (2) et intégrant, on
26o CALCUL DES VARIATIONS.
trouve
et, en éliminant 5 -f- ^,
La courbe est donc, dans ce cas, Une chaînette. Les irois constantes que renferme son équation, se déterminent par la condition que la courbe passe par les deux points lixes, et qu'elle ait entre ces points une longueur donnée. .
Si les extrémités du fil, au lieu d'être attachées à deux points fixes, comme nous l'avons supposé jusqu'ici, pouvaient glisser sur deux courbes données, on trouverait facilement, en examinant les termes aux limites de l'intégrale proposée, que l'équilibre n'aurait lieu qu'autant que les extrémités du (11 seraient normales aux courbes limites. Ce résultat subsiste quelle que soit la loi de densité dans le fil.
TOURBES DAMS LESPACE. 261
