ONZIÈME LEÇON

Recherche de courbes dans l'espace; cas où l'on prend l'arc pour variable indépendante. — Ligne la plus courte sur une surface donnée. — î.igne la j)lus courte de courl)ure constante.

131. Lorsqu'il s'agit d'appliquer le calcul des variations à la recherche d'une courbe dans l'espace, rapportée à un système de coordonnées reclilignes et rectangulaires .r, y, z, on peut regarder deux quelconques de ses coordonnées, par exemple^ et z, comme fonctions inconnues de la troisièmes. Mais il est souvent plus commode, et toujours plus élégant, de prendre l'arc s pour variable indépendante, en considérant x, y, z comme trois fonctions à déterminer, et liées entre elles par l'équation différentielle

dx^ -4- r/j' -h dz' z= ds\

dont on tiendra compte au moyen d'un facteur indéterminé, fonction de s (n^ 49). La marche à suivre dans la recherche des courbes planes, lorsqu'on prend l'arc s pour variable indépendante, exposée dans la leçon précédente, s étend d'elle-même au cas de courbes dans l'espace, et il sufflra de donner ici un aperçu succinct des formules relatives à ce cas plus général.

Soient X, j^ z les coordonnées reclilignes d'un point quelconque d'une courbe dans l'espace, a/, x" ^ . . . , r', y",. . ., r.', z"^. . . leurs dérivées successives, prises par rapporta l'arc s, el supposons qu'il s'agisse de déterminer

la forme que doit avoir la courbe pour que l'intégrale

F {s, j:, x', x'\ j, /, y", z, z\ z")ds

devienne maximum ou minimum. Les fonctions inconnues X, /, z étant liées entre elles par la condition

x"+ r'^~\- z''— I, si l'on fait

V — F -^ A ( jc" -H r '- -h z'^ — i),

À étant une fonction indéterminée de 5, le problème reviendra à chercher le maximum ou le minimum absolu de l'intégrale

Désignons respectivement par P, Pj, P,, Q, Q,, Q.^, R, Ri, Us les dérivées partielles de V relatives à .r, x\ x'\

r, y ^ y"-, z, z\ z'\ nous aurons, pour déterminer les formes générales des fonctions x, y^ z^ À, les équations indéfinies

anxqjielles il iaul joindre

Dans tous les cas où la fonction F, dans Tintégrale proposée, ne renferme pas explicileincjit lare.?, mais seulement 1rs rooidonnécs x. 1 , z avec leurs dérivées.

COURBES DAKS LESPACE. 263

les équations (i) admettent une première intégrale facile à obtenir. En effet, puisque non-seulement la dérivée partielle de F relative à 5, mais aussi celle de V par rapport à A, ou x'^-i-y'^-\- z'^ — i,sont nulles, la dérivée totale de V se réduit à H

— - =n P^' 4- P, ^" -h P, x'" as

-hRz'-hR, z"-f-R,z'".

Si l'on y substitue les valeurs de P, Q, R, tirées de l'équation (i), le second membre deviendra une dérivée exacte, et il viendra, en intégrant.

l v=X-4-P.x'+Q.j'-hR,

132. La considération des ternies aux limites de la variation ^S conduit très-facilement aux conditions que doivent remplir les extrémités de la courbe. En appelant indistinctement ^, y?, Ç, ^', r/, ^' les valeurs de x, y, ^, x' ^y\ z' ^ correspondantes à Tune ou à l'autre des limites de l'intégrale, et supposant toujours que F ne renferme j)as explicitement l'arc 5, on verra ces termes se réduire à

ko [s-, — .V,)

et l'on en conclura tout d'abord que la constante A devra être nulle toutes les fois que la longueur .^2 — .^1 de l'arc

fi/ - •

ne sera pas déterminée à priori. Examinons maintenant les deux hypothèses suivantes :

1° Les points extrêmes de la courbe sont fixes. — On a ^^ = 0, ^Ti = o^ ^Ç = o, tandis qu'il est permis de regarder les variations <î^', $t.\ ^^' comme arbitraires et indépendantes les unes des autres, puisqu'on a déjà tenu compte, au moyen du facteur X, de la liaison qui existe entre x\ y\ z', et, par suite, entre les valeurs limites |', >?', tj de ces dérivées^ on en conclura que les trois équations

doivent avoir lieu pour chacune des extrémités de la courbe.

1^ Les points (extrêmes sont seulement assujettis à rester sur deux surfaces données. — Soit

l'équation de Tune de ces surfaces, les variations ^t^ dr,, â^ seront liées entre elles par la relation

^/r . ^/r , rie

— 0 ç -4- — or; -r- -- r; Ç — o ; (le. ftr, fi Ç

les termes aux limites foiirnisscnl d'ailleurs la condition

Éliminant l'une des variations c^J, 0/;, of, vA égalant à zéro les coefficients des deux autres, il vient

P,^ c^,-'!^ n.-ih

ds fis fis

7fi 7^r, 7rc ■

COURBES D\KS LESPACE. ^65

Telles sont les équations que doivent vérifier les coordonnées de l'extrémité que l'on considère. . • *

Les directions des tangentes extrêmes, ou les valeurs de I', «', ^'i n'étant pas données, on aura en outre, comme dans le cas précédent, les trois équations >

pour chacune des limites.

133. Pour ne pas être obligé d'interrompre la discussion des problèmes qui vont suivre, nous croyons utile de rappeler ici quelques formules relatives à la lliéorie des courbes dans l'espace et d'expliquer le sens que nous attachons à certaines expressions. Considérons trois droites A, B, C, prises chacune clans une direction déterminée et faisant avec les axes desx,y, 2, des angles dont les cosinus sont : pour la première droite a, a\ a!\ pour la seconde h ^ h\ h", pour la troisième r;, c', c" -^ admettons que la troisième droite C soit perpiindiculaire aux deux autres A et 13, lesquelles comprennent entre elles un angle quclconqutî 0, on aura

ûb -\- (i h' -4- il" h" zzz cos 0 , <ic -h a' c -{- a" c" = G , bc-^ b'c' -\- b" c" =ro,

et, en éliminant tour à tour c, c', c",

lin "Il II 1 I " Il II

(tu — ni) nu — ni) a h — no .

Les cas où il faut prendre l un ou Tautre des deux signes du dernier picmbre se distinguent de la manière suivante : concevons que par un point quelconque on mène trois droites A', IV C parallèles à A, B, (i, ces droites pour- «onl être ci>nsi<l('récs romuie les arèlcs d'un angle irlèdn^ «lans lc<jiH'l (knix des ,)!il;I(vs plans sont dioils, et le troi-

sième égal à 6; de même on peut regarder les axes positifs des coordonnées x, y, z, comme les arêtes d'un second angle trièdre, dans lequel chacun des trois angles plans est un angle droit. Cela posé, deux cas sont possibles : les arêtes A^, B', C du premier angle trièdre se suivent dans le même ordre que les axes desa:,y, z, arêtes du second angle trièdre, ou elles se suivent dans Tordre inverse; en d'iiutres termes, si l'on applique C sur 1 axe des z, jy sur Taxe des j^, la droite A' pourra se trouver du même côté du plan yz que l'axe des x ou du côté opposé, de sorte qu'en faisant l'angle d égal à 90^*, les droites A', IV, C se super])Oseront dans le premier cas aux axes des x,j, z, landis que dans le second cas la superposition n'aura pas lieu. Le signe supérieur, dans le dernier mend^rcdela formule (3), correspond au premier cas, le signe inférieur au second.

Nous dirons, pour faciliter le langage, que la succession des droites A, B, C est directe dans le premier cas, inverse dans le second.

Si les quantités «, a', a\ h^ h\ h" ^ c, c', c" étaient seulement proportioinielles aux cosinus des angles que les droites A, B, C font avec les axes des x, /, z, et qu'en outre; chacune de ces quantités eût le même signe que le cosinus qui lui correspond, on aurait encore

a"h—ab" ab' —a'b

't chacune de ces fractions serait égah

± sin 6 4/'^ -- — —; V^— ^7

on prendrait le signe supérieur ou le signe inférieur, suivant que la succession des droites A, B, C serait directe ou inverse.

COURBES DANS l'eSPACE. 267

434. Oq déduirait très-simplement de ces formules toute la théorie des courbes à double courbure^ mais nous ne rappellerons ici cpie quelques théorèmes fondamentaux. Soient x,Y, z les coordonnées d'un point quelconque P de la courbe, les cosinus des angles que la tangente T à la courbe fait avec les axes des x, j, z^ seront proportionnels aux différentielles

dx, dy , dz\ .

de même, quelle que soit la variable indépendante,

dx. -f- d^ X , dy -H d'' y , dz -^ d- z

seront proportionnels aux cosinus qui déterminent la direction de la tangente T' en un point P' infiniment voisin de P. Donc, si Ton appelle d(S) l'angle de contingence ou Tangle aigu compris entre les deux tangentes consécutives T, T', et X, Y, Z les cosinus des angles que la droite O, perpendiculaire aux deux tangentes, et par conséquent au plan osculateur de la courbe, fait avec les axes des .Tyj', ^, on aura

dy d- z — dzd'^y dzd^ x - dxd- z dxd'^y — dyd^ x r/w

x7/^^ ~ Yd? r ~ y^' ~~ '^'

pourvu que la droite O soit prise dans une direction telle,

(lue la succession des droites T. T', O soit directe. Or-—

' ' ds

étant évidemment réciprocjue au rayon de couiburc p . si Ton prend Tare s pour variable indépendante, il viendra

Pour trouver la direction du ravon (!<' «ouibuic p, ou

268 CALCUL DES VAIUATCOKS.

les angles a, ^3, y que ce rayon fait avec les axes des coordonnées, nous feions remarquer que p est à la fois perpendiculaire à la tangente T et à la normale O, et que, en vertu de ce que nous avons déjà admis, la succession des droites O, T, p est nécessairement directe; on aura donc

cos a cos^ roS7

et, en éliminant X , Y, Z au moyen des équations (4) -,

( 5 ) cos a = p x\ cos 8 r= oy" , COS7 r=r p z'\

{(il l^^:^'^^.y'^^^'^Y'

i3o. Supposons maintenant que la courbe soit tracée sur une surface ayant pour é(}uation différ-^ntielle

dz —7 pdjo -4- qdy . '

Si un plan roulait le long de la courbe de manière à être toujours tangent à la surface, ses intersections successives engendreraient une certaine surface développable S -, nous allons cbercbcr ce que devient cette courbe lorsque la surface 2 est développée sur un plan.

Considérons deux plans tangents menés à la surface donnée, en deux points P, P' de la courbe inliniment voisins l'un de Taulre: la normale N au premier plan fera avec les axes des x. y? z des angles dont les cosinus seront proportionnels à /', 7, — i et auront les mémcé signes que ces quantités, pourvu que la normale JN soit menée en dessous du plan, de manière à faire un angle obtus avec l'axe des z ; de même p -\- fJp ^ q -{- dq , — i seront proportionnels aux cosinus des angles que la normale N' au second plan tangent fera avec les axes. L'iiilerscclion (t (le CCS d(Mix plans, général rire de la surface dévelop-

COURBES DAKS l'eSPACE. 269

pable, est perpendiculaire à la fois aux deux normales, et si l'on appelle /, m, n les cosinus qui déterminent sa direction, on aura

à la condition que la droite G sera prise dans la direction nécessaire pour que la succession des droites JN, N', G soit directe. L'angle qj compris entre la génératrice G et la tangente T à la courbe sera donc déterminé par l'équation

^dp ' -h dq '' -\- [pdq — q dp ) '

Si l'on donne à l'arc s un accroissement infiniment petit (is^ l'angle (jp recevra un accroissement correspondant /^^, qu'il importe de déterminer. Pour simplifier le calcul, nous admettrons un moment que le plan xy coïncide avec le plan tangent au point P, et que l'axe des x soit dirigé suivant la tangente à la courbe, de sorte que Ton ait, en ce point P, yy =: o , <7 = o , x' =: i ^ y' ==. o ^ ^' = o, et aussi .r'' = o, puisqu'en général x' x"-^yy"-[-z'z" =^o. On aura alors simplement

cl de mèm

\ dp' -j- dej- \ldp' -f- dq-

en admettant qne T, G, A, se snc< èdeul dans Tordre i\v<, axes des J^,y, -•

Cela posé, si l'on dilïérenlle 1 équation (j) et qu'on y substitne après la dilférenlialion les valeurs p = o^ q =z o,

en divisant le résultat par — sin©,

La différentielle d(f exprime la différence a' — ^ des angles que deux génératrices G', G, passant par deux points P, P' de la courbe, inliniment voisins Tun de l'autre, t'ont avec les tangentes T, T' en ces points. Ces génératrices ne sont pas en général parallèles entre elles, et l'on trouve facilement l'angle ^i}» qu'elles comprennent, en observant que la normale Nest à la fois perpendiculaire à chacune d elles, et que les droites G, G', N font avec les axes coordonnés des angles dont les <osinus sont respectivement proportionnels à

dq , — dfj , pdq qdp ,

dq -r- d'q , — [dp -h d^p), P^^^i — V^V^ '•>

En effet, appliquée à ce cas particulier, la formule (3) donnera, quand on aura fait/? = o , ^ = 0, et qu'on supposera directe la surcession des droites G, G', IN .

dqd-'p— dpd'q

fhl — --.. ., •

dp' -4- ftq-

Dans celte niêm(; liyjK)tlièse, la différence d^ — do^ est évidemmenl égale à Tangle de contingence dw, compris entre deux tangentes consécutives à la courbe aplanie. Si, au contraire, la succession des droiles G, G', N étj^il inverse, il faudrait écrire — d^ au lieu de d^ dans la dernière formule, mais en même temps l'angle de contingence d 0) deviendiail d^-{-d(^. Il en résulte, en remplaçant d(^ et dûj par leurs valeurs, (ju'on aura dans les deux cas

en prenant le signe supérieur ou inférieur suivant que la succession des droites G, G', N est directe ou inverse. On aurait obtenu le même résultat en admettant que T, G, N se succèdent dans Tordre inverse des axes des^, j)^^ z. En appelant 0 l'angle aigu compris entre le rayon de courbure p et la normale N, et r le rayon de courbure de la courbe devenue plane, on en déduit la formule très-simple

que Ton peut regarder comme l'équation de la courbe rabattue. Cette équation est d'ailleurs indépendante du choix particulier des coordonnées. Traduite en langage ordinaire, elle renferme le lliéorème suivant assez remarquable :

TJne surface déi'eloppahle étant circonscrile à une surface quelconque de manière à la toucher le long d^une courbe donnée, le rapport entre le rayon de courbure de cette courbe à double courbure et celui de la courbe plafic avec laquelle elle coïncide lorsqu'on rabat la surface dév^eloppable, est, dans tous les points correspondants des deux courbes, égal au sinus de f angle que l<'. rayon de courbure de la courbe donnée fait avec la nornuile commune aux deux surfaces. •

Ces principes établis, revenons aux applications du calcul des varialioiKs.

PPvOCLÎiMi: XII.

1 30. Trouver la ligne la plus courte entre deux points sur une surface donnée.

Soit w'= o l'équalloii de la surface donnée, et prenons l'arc s pour^ç variable indépendanle: les conditions du problème étanl

Il := o, :r''' -I- >'- i- z'---=z\, f (Is rrt miiiinmiii,

I^j'l CALCUL DES VARIATIONS-

la question rcvieiulra à chercher le minimum absolu de l'intégrale ^

i -h a(x'- 4- j'- -4-2'^ — i) -h pa j f/i',

dans laquelle A et /ui représentent deux fonctions indéterminées de s.

Conformément aux notations adoptées, on a

^ (lu ^ du du

P--.p, Q-^u--, R=:nfx— , ^ro: <^/)- r/z

P, =r 9//r', Q. — ?.>.r', R, = 2>z', ce qui conduit aux équations indéfinies

f \ , du . , , . \,

du , , . ,,

u — 2 A Z — 2 A Z -JZZ O,

auxquelles il faul joindre

u 1ZZ o, x- -j- .) '• -h z' ' ^:= I .

Les équations (i), multipliées respectivement par x! ^ y\ z' et ajoutées, doiin<nu

2 /.' zzz o, on }\ = <", ce qui les réduit à

du ,, du ,, du ^^

r/.r ^/r dz

d'où l'on tire, en éliminant p.,

du \ , du \ I du

équations différentielles de la courbe cherchée. On iie saurait les intégrer sans spécialiser d'abord la fonction w, ou la nature de la surface donnée, mais elles expriment, même sous cette forme générale, une propriété remarquable de la ligne la plus courte. On sait, en effet, que

, j , . , . ,, du du du . , ,

les dérivées partielles -;-? -r-? -7- sont proportionnelles

^ dx dj dz ir r

aux cosinus des angles que la normale à la surface donnée fait avec les axes des .r, y^ z^ et que x"^y"^ z" sont proportionnels aux cosinus des angles que le rayon de courbure de la ligne cherchée fait avec les mêmes axes. La formule (2) nous apprend donc que ces deux lignes ont la même direction, c'est-à-dire que le rayon de courbure de la ligne la plus courte est partout normal à la surface sur laquelle elle est tracée. On appelle en général lignes géodcsigues les lignes qui jouissent de cette propriété.

L'angle compris entre le rayon vecteur et la normale étant nul, il en résulte encore, d'après le théorème du numéro précédent, que si une surface développable touche la sur j ace donnée suivant une ligne géodésique, et quon rabatte la première surface, la ligne géodésique deviendra une ligne droite.

137. Pour obtenir l'équation de la courbe sous sa forme habituelle, faisons pour un moment

X = dyd-z — dzd-'y, Y = dzd^" x — d.T(r-z Z ■= dxd"^ y — dyd'^Xj

sans partiruliser d'abord la variable indépendaiilc-, on aura

,^ Ydz — Zdy ,, 7.dx — Xdz „ Xdj - Ydx

ds' ds' ds^

Si l'on appelle /;, q, r, s, 1 les dérivées parliolles de z des IV. iS

2;74 CALCUL DES VAUIATIONS.

deux premiers ordres, tirées de l'équation m = o de

la surface donnée, p^ q^ — i seront proportionnels à

du du du ^ „ 1 / N w .

-—', -—5 -r- et Ja iormule (2) pourra s écrire dx dy dz \ I i-

Ydz-Zdr Zdx~^dz Xdy — Ydx

Multiplions respectivement par X, Y, Z les numéraleurs et les dénominateurs de ces trois fractions, la somme des numérateurs deviendra nulle; celle dos dénominateurs devra donc aussi s'évanouir, sans quoi cliacuncdes fractions serait nulle, cl l'on aurait constamment

.r" -- o, y" ~- (), z" =zz o,

et, par suite (n" 134), c = 00 , <eqni n'est pas généralenienl possible. Il en résulte

pX 4 7Y— Z=r::0,

p [dyd ^ z — dzd ''y)-t- q [dzd ■ x — dxd ■ z) — {dxd-y — dyd Kv) =-- o .

Prenons mai menant r ])our variable indépendante, <^t introduisons les valeurs

dz = pd.T -|- «/r/r, d'z := rdx' -f- ct.sdxdy -h td}"^ -i- qd"^ y -,

il vicndia, après quelques réductions faciles à effectuer,

tr-y ( dy\ I dy dr'\

équation diiïérentielle du second ordre, laquelle, jointe à H = o, déterminera la ligne géodésique.

138. Les lignes géodésiques tracées sur un ellipsoïd(î ont des propriétés intéressantes dont nous ferons connaître quelques-unes, indiquées d'nbord pai- M. .loacbimstlial.

Soient a, Z>, c les trois demi-axes de l'ellipsoïde, son équa-

tion sera

et les équations (2), auxquelles doivent satisfaire les coor donnés de la ligne géodésique, deviendront

t étant une variable auxiliaire.

En appelant P la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent à rellipsoïde, et D le demi-diamètre parallèle à la tangente à la ligne géodésique, on a

Cela posé, si l'on dilïérentie deux fois de suite Féquation do Fellipsoïde, il viendra

u.jc' y y" zz" .r'' y''^ z'^

substituant les valeurs(3), et ayantégardauxéquations(4), on en déduit

Les équations (3) élevées au carré et ajoutées donnent d'ailleurs

2^6 CALCUL DES VARIATIOKS.

donc, en éliminant ?, on trouve

ce qui fournit déjà un moyen très-simple de calculer le rayon de courbure p de la ligne géodésique. Il en résulte en outre cette proposition :

Les lignes géodésiques qui passent par un même point de Vellipsoïde, ont daîis ce point leurs rayons de courhure pj^oportionnel s aux carrés des demi^ diamètres parallèles à leurs tangentes.

Ajoutons qu'on parvient facilement à intégrer une fois l'équation dillerenticlle du second ordre de la ligne géodésique, lorsque cette ligne est tracée sur un ellipsoïde. En effet, si l'on différeniie les deux équations (4), il vient d'abord

I r/P xx' y y'

zz'