TT

{)' fis ~ o' ' ir

__ V (xx

yy' zr.

Multipliant la première équation par P-, la seconde par D-, et ajontanl, il vient

p-^ir^^'

et, en intégrant

PI) — const. = C.

C est l'intégrale cliercliéc, ou l'équation différentielle du premier ordre de la ligne; géodésique. Combinée avec

. COURBES DA^S L ESPACE. . l'J'J

l'équation (5), p= — î elle donne - - " .

et conduit au théorème suivant :

Le long d'une même ligne géodésique tracée sur un ellipsoïde , la courbure "varie proportionnellement au cube de la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent à l'ellipsoïde.

Comme la perpendiculaire P dépend uniquement des coordonnées x, y, z du point que l'on considère, et nullement de la direction que la ligne géodésique a en ce point, l'équation (6) donne encore lieu à cet autre théorème :

Un triangle étant formé par des lignes géodésiques sur la surface d'un ellipsoïde^ si Von désigne par p^ , p\ , pif Pi 5 ^31 p'sî ^^^^^ r ordre ou ils se succèdent, les rayons de courbure de ces lignes aux sommets du triangle, les deux produits des rayons alternes ou non contigus seront égaux, cest-h-dire, on aura

On sait que deux sections normales d'une surface quelconque ont la même courbure lorsqu'elles font des angles égaux avec l'une ou l'autre des sections principales ou des sections auxquelles appartiennent la plus grande et la plus petite courbure; il résulte donc du théorème que nous venons d'énoncer, que si, dans le triangle formé sur la surface de l'ellipsoïde par trois lignes géodésiques, deux des angles sont partagés en deux parties égales par des sections principales, il en sera de même du troisième angle.

Sur un ellipsoïde de révolution tous les méridiens sont

évidemment des lignes géodésiques -, désignant par po le rayon de courbure d'un méridien, on aura donc, en vertu de la formule (6),

et, par suite ,•

— = -^ =: const. ;

ainsi, sur les ellipsoïdes de révolution^ le rapport entre la courbure de la ligne géodésique et la courbure du méridien reste le même pour tous les points d'une même ligne géodes ique.

Celte propriété avait déjà été signalée par M. Guderniann ( Journalde Crelle, t. XVII).

139. Revenons maintenant à la question primitive de la ligne la plus courte sur une surface quelconque pour examiner les conditions auxquelles doivent satisfaire les extrémités de la courbe. Désignons par J, /:, Ç les coordonnées de l'une ou de l'autre de ces extrémités, les termes aux limites de la variation de l'intégrale proposée deviendront