V - \\r- Q, r'-- R,3')o^v-h P.<ÎH -hQ,§r> -+- R.^Ç
(, ^c)§(s,— '!,) -f-c / (x'^^-h r'flr.-i-z'S-C).
Ce seront en même temps les seuls ternies (|ui restent de la variation de linlégrale, quand on aura déterminé a;, ^ , z en fonction de 5 de manières à vérifier à ] \ fois les équations (i) et les conditions z/ = o, jc'--\-r'~-{-z'*=^ï. iNîais alors la combe scia une ligne géodésicjue dont la îonguenr s^ rcpréscuiéc précisément par rinlégialc pro-
COURBES DA»S L ESPACE. *iyg
posée, sera égale à 55 — 5j, en sorte que 55 — Si=s, On aura donc pour la variation de la longueur d'une ligne géodésique,
ds =[\ — c)3s -\- c j (j-'^t -h y' S 7i -h z' 8 ^^) , et, en transposant,
(7) 'U~ (x'd^^-hy'Sri-hz'ôK).
Cette expression disparaît d'elle-même avec les variations (îç, (Jy/, ^^, chaque fois que les points extrêmes restent fixes. Mais si ces points sont mobiles, si l'on clierche seulement la ligne la plus courte entre deux courbes données sur une surface, on aura pour chacune des extrémités la condition
x'S'E,-{-y§-/j -h z'Sl= o.
Or les variations cJj, âri, JÇ sont évidemment proportionnelles aux cosinus des angles de la tangente à la courbe limite; cette condition exige donc que \d ligne la plus courte r limites.
courte rencontre sous un angle droit chacune des courbes
140. La forme (7) sous laquelle nous venons de mettre la variation de la longueur s d'une ligne géodésique conduit à plusieurs conséquences remarquables. Concevons que la ligne s varie d'une manière quelconque sans changer de nature, c'est-à-dire sans cesser d'être une ligne géodésique-, appelons c l'arc décrit par l'une des extrémités, nous aurons
OÏ. zz=: —— OC, Or} =z -— 0 (7 , o'C =r. —— o C ,
{le ' (l Q de
a8o CALCUL DES VARIATIONS. • ^
et l'équation (7) deviendra :.•--*•■;>•
1^ \ds de ds dr; ds de J
Or, le coefficient de Ja est le cosinus de l'angle sous lequel se rencontrent la ligne géodésique s et la courbe limite c, chacune d'elles étant prise dans la direction suivant laquelle l'arc ^ ou a est compté. En désignant par çp cet angle, on aura donc
COS -y 0 <7.
Pour simplifier davantage, désignons par cpo, c7o les valeurs de cp et de c relatives au point initial, et réservons les notations sans indice a?, a pour la seconde extrémité de la courbe; nous aurons définitivement
Le second terme cosçpo^<7o serait nul, si le point initial était fixe, ou seulement si la ligne géodésique s était normale à la courbe a^ décrite par ce point, puisque dans le premier cas octo = o, dans le second cosOo = o.
Si l'on avait en outre 05=0, c-'est-à-dire si la longueur de la ligne s était invariable, l'équation (8) réduite à coso = o exprimerait que la ligne s est aussi normale à la courbe a décrite par la seconde extrémité. Nous pouvons donc énoncer ces deux théorèmes dus à Gauss ( Disquisitiones générales circa superficies ciuvas) :
Étant tracées sur une surface courbe, à partir d'un même point initial, une infinité de lignes géodésiques de même longueur, la courbe joignant leurs extrémités sera normale ii chacune d elles.
COCRBES DANS l'eSPACE. ' " , . * a8i
h^ On a donné quelquefois à cette courbe le nom de '■.:> cercle géodésique.
Une courbe quelconque étant donnée sur une surface^ si Von conçoit une infinité de lignes géodésiques de même longueur partant sous des angles droits des différents points de cette courbe, là ligne joignant leurs extrémités sera normale à chacune des lignes géodésiques.
{41. Pour seconde application de la formule (8), cherchons une courbe telle que le rapport des dislances géodésiques s ^ s' de chacun de ses points à deux courbes données soit constant.
La distance géodésique d'un point à une courbe se mesure suivant la ligne géodésique qui passant par le point est normale à la courbe. Soit c l'arc de la courbe cherchée, et désignons par ©,9' les angles sous lesquels les lignes géodésiques 5, s' coupent respectivement cette courbe. Puisque chacune des lignes s^ s' est supposée normale aux courbes données, sur lesquelles se meuvent leurs points de départ, on a cos ^0 = o? cosqp'o = o? ^^ les variations de 5, s' deviennent simplement
Jj' m: COScp ^(7, Oi' = COS cp'^a.
Cela posé, l'h^qwthèse admise
-- = const- = c
donne successivement
S — es = 0 , os — c 0 .V =r G , — — ^ = c. On aura donc, en substituant les valeurs de as. S s\
ce qui exprime la propriété caractéristique de la courbe cherchée.
Dans le cas particulier où la surface est un plan, où Tune des courbes données se réduit à un point et l'autre à une ligne droite, la courbe cherchée est une section conique dont l'excentricité est égale au rapport e. Ainsi dans toute section conique les cosinus des angles que fait la tangente avec les distances du point de contact à l'un des foyers et à la directrice correspondante, sont dans un rapport constant, égal à l'excentricité e; d'où Ton déduit celte propriété connue relativement à la réfraction :
Les rayoîis lumineux qui arrwent, parallhlerneiit au grand axe^ sur une ellipse dont Vindice de réfraction
est égal à -? vont converger au foyer le plus éloigné,
et les rayons lumineux qui arrivent^ parallèlement à Vaxe réel, sur une branche d'hyperbole dont Vindice de
réfraction est - •) divergent après la réfraction, comme
s'ils venaient du foyer de Vautre branche.
On trouve quelques autres problèmes analogues sur les lignes géodésiques dans un Mémoire de M. Gilbert [Bulletin de F Académie royale de Belgique^ 1860).
1-42. Dans la théorie des surfaces combes on peut aussi tirer parli de l'équation (8), qui exprime une propriété générale des lignes géodésiques. Nous en donnerons un seul exemple, qui comporte également une application' importante à T optique.
Soient A, lî deux surfaces données et cherchons une troisième surface X lelle. que les normales 5, s' abaissées d'un point quelconque P de celte surface sur A et B aient entre elles un rappoil constant h.
Concevons (lue 1(^ point P se dépl.icc sur la suilace X
COURBES DAKS l'eSPA-CE. 283
suivant une courbe quelconque c7, on aura toujours
Ss =: cOSifoc, 0/ =cOS(5)'^cr,
çp et (p' désignant, comme ci-dessus, les angles que les prolongements de s et s' forment avec Tare g.. De l'hypothèse admise
on déduit d'ailleurs successivement
.V — / .V — o , os — /.os = O , -.— ; =: A ;
OS
substituant les valeurs de 0 5, ds'. on aura donc
COStt
COS o'
Ainsi les deux droites 5, s' forment avec une courbe quelconque (7, menée par le point P sur la surface X, des angles o, o' dont les cosinus sont entre eux dans le rapport constant /, d'où l'on conclut facilement que le plan de ces droites est normal à la surface X au point P. Supposons que l'arc g soit pris dans ce même plan, les angles cp, o' seront les compléments des angles que les droites s , s' font avec la normale à la surface X ; donc le rapport des sinus de ces derniers angles sera aussi constant et égal à k. Concevons maintenant que la surface X se trouve entre deux milieux de pouvoirs réfringents inégaux et tels que Tindicede réfraction entre ces deux milieux soit,Â'; si 5 est un rayon incident, s' sera le rayon réfracté. On en conclura que si les rayons incidents sont normaux à la surface A;, les rayons réfractés seront tous normaux à la surface B, Celle même propriété appaitiendra aux rayons rélléclns, pour lesquels on a A =:: — i .
Réciproquement, on pourrait se donner la surface réfringente X avec l'une des surfaces directrices, par exemple celle qui coupe orthogonalement ou à angle droit tous les rayons incidents et que nous avons désignée par A. On trouverait alors la surface B, normale à tous les
rayons réfractés, par la condition - = A, en cherchant
Tenveloppe de toutes les sphères qui ont leurs centres sur la surface X, et dont les rayons sont proportionnels aux distances de leurs centres à la surface A, le rapport constant entre les rayons et les distances étant celui du sinus de réfraction au sinus d'incidence. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant, qui renferme toute la théorie des caustiques, développée successivement par MM. Dupin, Quetelet, Gergonne, et autres :
Deux milieux homogènes étant séparés Vun de Vautre par une surface de nature quelconque, et des rayons de lumière pénétrant de tun de ces milieux dans Vautre^ si les rayons incidents sont dirigés dans V espace de manière à pouvoir être traversés orthogonalement par une même surface, il en sera de même des rayons réfractés, et réciproquement : en outre, à chaque trajectoire orthogonale des rayons i/icidents répond toujours une surface trajectoire orthogonale des rayons réfractés, telle que les normales abaissées sur ces deux surfaces d'un point quelconque de la surface séparatrice des deux milieux seront respectivement entre elles dans le rapport constant du sinus d incidence au sinus de réf action. '
Problème XIII.
143. Parmi toutes les lignes de même courbure constante quon peut mener entre deux points, quelle est la plus courte?
Prenons Tare s |)our variable iiuléneiidanlc, les condi-
■^mf&^
COURBES DAKS l' ESPACE. 285
lions du problème seront .
y^.vrrrmin., x'* -h j" -h z'' =: I ,
.r"î 4- j"' -h z"' == — = consl.,
et la question reviendra à chercher le minimum absolu de l'intégrale
I H-;(.r'^-hj'-^-f-V^-i;
!"'-¥- z"'--] \<ls,
p étant constant et À, /u. désignant deux fonctions indéterminées de 5.
On a
P = O, p, := 2 A.r', Pî — 2px", Qr=o, Q, =r2>j', Q,=i2p.j", R=0, R,r=2Az', Rj— 2az",
et les équations générales de la courbe deviennent
a.v fis <ts
OU
/' 2 / x' — 1 uf x" — 2 a .r'" = <7,
( 2X z' — 2 fx'z" — 2 u.c"' =r f,
a, /;, c étant des conslanlcs arbitraires. A ces équations, il faut joindre les conditions primitives
x'- 4- r'- -f- r/' = 1 , 0 rrr const.
L'élimination de / entre les deux dernières équations (i) donne
bz' - cy' =^ 2 fx' (^r' z" - z'y") -f- 2 p {y' z'" — z y'").
a86 CALCUL DES VARIATIONS.
el, en intégiant,
