C -\- (lY — bx -- ?. fjL [x y
A, n, c étant de nouvelles conslanles arbitraires. Enfin, si l'on multiplie par x\ y\ z' ^ ou seulement par dx^ dy^ dz^ les trois dernières équations, et qu'on les ajoute, u disparaît vx il vient
(2) (A -4- hz — cy) (Ir -4- ; B -h r.r — az) dy H- (C -f- ny — hx) ciz=zo,
équation diiïérenlielle qui, jointe à |2=:const., détermine la courbe cherrhée.
\A4-. Ici se présente d elle-même la question de savoir s'il existe une relation primitive entre x, y, z qui satisfasse généralement à Téquatioii dilîércntielle {2), ou, en d'autres termes, si cette équation peut représenter une surface. Dans ce cas, la ligne cliercliée serait une ligne de courbure constante tracée sur celle surface. Or, il est facile de s'assurer que léquation (2) est inlégrable sous la seule condition (ju on ail
(3) a A -:- /;A -h rC — o,
et qu'elle conduit alors à Téqualion d'un plan. En ellét, si Ton regarde d'abord :: comme constante, celte (^nation, devenue
f/x (ly
ïi -h ex — az t\ -^ bz — <y
COLlllîES DANS L ESPACE. 28^7
donne, par Fintégration, i B -]- ex — û
bz —
cy
(^iz) étant une fonction arbitraire de z. Pour déterminer cette fonction, diflérentions de nouveau en faisant varier toutes les variables x, y, 2^ lerésultat, comparéà(2), fournit la condition
Aa-hBb -+-Cc-f-(A -4- bz — ryy^'(z) — o,
laquelle devant être identiquement vérifiée pour que Téquatioji {2) soit intégrable, se partage en deux autres
JI eu résulte
0(3) z=z const. =z m, <'t, par conséquent,
B -f- ex — az-:=i m ( A -i- bz — cy \ ,
équaliou d'un plan, comme nous l'avions ainioncé. Lois- <[ue les données du problème seront telles que la condition (3) soit remplie, on en conclura que la ligne clicrcliée est une courbe plane de courbure constante, c'est-à-dire un arc de cerclt;.
145. Pour faciliter la reclierclie des équations aux limites, désignons par ^, r;, Ç, ^', ri. Ç' les valeurs <le .r, r, ^, a/, y', z' correspondantes à l'une ou à l'aulre <les extiémités de la eourbe^ les termes aux limites de la variation de l'inlégrabî Sdeviendronl
' / ' ?. a '^ I — ax' — hr' — cz! ^ Wj.v
/ j rtfîH -+- h tir, -r- cJi
-+- / ^ n^l -+- h tir, -r- cnC ■\- -y.u.l r" ut 4- r" ^r! -h z'^l!) \
Nous savons déjà [n^ 132) que le coefficient de ^^doit se réduire à une constante-, c'est ce qui résulte d'ailleurs des équations (i), car en les multipliant respectivement
par x"^y", z" el observant que
x"^ + y + ^"' ~ —= const.,
on trouve
et, en intégrant,
ax 'Y by -h c?. -i r= A ,
A- étant une constante arbitraire. Le terme en c^^ se réduit donc à (i — A) 0(5, — 5i) ou à (i — A)^S, puisque la différence ^2 — ^i est égale à Tare représenté précisément par Tinlégrale S qu'il s'agit de rendre minimum. D'ailleurs, lorsqu'on aura déterminé x, y, z en fonctions de s de manière r» vérifier les équations indéfinies (i), la variation ^S se composera uniquement des termes aux limites que nous venons d'écrire. On aura donc, en transposant,
/■rîS— / ; anl-\-hor. + cî^t-\-'?.Y.{x"^l!-\-f^n'-^z!'^-c:) \
Lorsque les directions des deux tangentes extrêmes à la <-ourbe ne sont pas données, en sorte que les valeurs limites de .r', y' . 2! sont assujetties à la seule condition ^/2 -f- ;^"-h 2'- = I, dont on a dt^à tenu compte au moyen du facteur indéterminé )i, il est permis de regarder les variations oT'. 0//', 0^' comme arbitraires et indépendantes les unes des autres, et d'égaler à zéro b;
COURBES DANS L*ES1*ACE. aS^
coellicient de chacune d'elles, ce qui donne pour chacune des limites
ii.r" = G , p j " = o , ^z" =z O.
Or x"^ y", z" ne peuvent pas être nuls à la fois, parce
qu'on aurait alors aux deux limites — = o, valeur en eré-
néral inadmissible à cause de la courbure constante imposée à priori à la courbe entière. Ou est donc forcé d'admettre p = o pour chacune des limites. Par conséquent, si Ton appelle x,, j'j, z^^ x^, j'j, z^ les coordonnées des deux points extrêmes, qui d'ailleurs peuvent être fixes ou variables, on aura
^ A -h hz, — n\ = o , A -h bz^ — r > j = o,
( 4 ) < H H- cj:, — oc, r= o , B 4- cx^ ■— az, = o ,
( C -f- //}', — hx^ = o , C -f ny^ — bx-i = o .
iMultipliant respectivemenl par <'/, /?, c les trois équations soit du premier, soit du second système, il vient
A^ 4- B/^ -h Cc=3 0.
Nous avons déjà fait remarquer que c'est la condition d'intégrabllilé de l'équation (2), qui conduit alors à une relation linéaire entre x, y, z. 11 en résulte (pie la ligue cherchée est plane*, celte lij^ne, qui a d'ailleurs une conrbnre constante, est donc un are de cercle. Ia's é(piali(>ns (4) donnent en outre
ce qui exprime que la corde, ou la droite qui joint les extrémités de la courbe, fait avec les axes des x, j^ z des angles dont les cooinus sont rcspcctiveiuent proportionncîls à <2, 1)^ c.
