IV. IQ

-;;.1j46. Supposons maiiilenant que l'on cherche la ligne de courbure constante la plus courte entre deux surfaces données. Les directions des tangentes extrêmes, on les valeurs limites de x' ^ y' ^ z! n'étant pas fixes, il résulte d'abord de la discussion qui précède que la courbe est un arc de cercle. Pour déterminer de plus près sa position, considérons une des surfaces limites représentée par l'équation

ïiX, „, 0 = 0, ■

d'où l'on tire, en prenant la variation,

d t itYt (le

Les termes aux limites fonruisseiU d'ailleurs la condition

no^ -{- b OTt -\- co C :=^ O.

L'une de ces équations devant avoir lieu pour toutes les valeurs de J^, or/, oÇ, qui satisfont à raulie, il faut que les coeflicients soient pioporiionnels entre eux, ou que l'on ait

Or, dans ces trois fractions les numérateurs sont proportionnels aux cosinus des angles que la normale à la surface fait avec les axes des .r, j^ z, et les dénominateurs aux cosinus des angles que fiiit avec les mêmes axes la droite menée entre les extrémités de la combe. Cette droite, ou la corde de l'arc de cercle, devra donc être normale à chacune des surfaces limites, de sorte qu'elle se confondra avec la plus courte distance entre ces surfaces.

<:OUllBES DANS L ESPACE, s 2^1

Si le point limite ('£, "n, ^) devait se trouver sur une courbe donnée, les variations ^J, om, d^ seraient nécessairement proportionnelles aux cosinus des angles que la tangente à cette courbe fait avec les axes des x, j-, z^ et l'équation

prouverait alors que la corde doit être normale à la courbe limite.