DOUZIÈME LEÇON

Suite delà recherche de courbes dans l'espace. — Courbe de longueur donnée renfermant l'aire maxima sur une surface. — Courbe de longueur donnée circonscrivant une portion de surface telle que le volume qu'elle recouvre est un maximum. — Courbe de longueur donnée, directrice •l'un cylindre à aire maxima. — La brachistochrone sur une surface. — La brachistochrone dans un milieu résistant. — Position d'équilibre d'un fil sur une surface.

'UOBLEME

14-7. Une courbe quelconque étant tracée sur une surface donncc, trou\.>er sur la même surface une autre courbe de longueur clélerini'née qui renferme a^ec la première la plus grande aire possible.

Soil u =z o réquatioii de la surface donnée, et /?, q les déiivécs partielles de z qu'on en déduit ; Taire qu'il faut rendre inaxininni aura pour expression

Pnisqiie r:, p. q sont des fonctions co»inues de x, }', on ])oiirra inté^jrer une fois par rapport \\ y entre des limites convenables, c est-à-dire depuis la valeur de )^ qui correspond à la courbe donnée jnsqu'«à la valeur dey relative à la courbe (jue Ton <lierclie, et Ton aura aijisi un certain résultat

V — /v'i ~\-j>-\- (fdy,

u étant inie fonction connue des coordonnées J', y de la seconde couibc.

Cela posé, l'expression de Taire devient fvdx. Si Ton

COURBES DANS LESPACE. 293

prend Tare s pour variable indépendante, les coordonnées x^y. z de la courbe seront des fonctions inconnues de 5, liées entre elles par les équations

et le problème reviendra à chercher le maximum de l'intégrale

I vx

' + \ (x"4-j'' 4- 2'2— I ) -+- fx«| ds.

prise entre des limites dont la différence, s^ — 5j , est constante, )i, il étant des fonctions indéterminées de s. En conservant les notations de la leçon précédente, on a

V = vx' -f- À (x'- -i-y'- -f- s'^ — I ) -j- p w := c.?/,

du dv ,

P — a-— -^-—.r', P, =r 2Àr' H-r,

' dx dx

{lu di> ,

^^^^dj-^dj^^'^ Q.-^-V',

du R— p— , R, =:2AZ. ,

et les é(juations indéfinies deviennent

di> ,

—- X 4- p. 2A o: — 2 A.?: = — rzr

/-/.r r/x ds

dy ' dy

Multipliées par x'.y, z' et ajoutées, elles donnent d abord

2// =0^ 2 ). rr r;

OU a d'ailleurs

294 CALCUL DES VÀRIATIOKS.

les équations de la courbe se ramènent par conséquent à

I du

Soient /, m, n les cosinus des angles de la droite L, qui serait à la fois tangente à la surface et normale à la courbe, au point x,y, z\ on aura évidemment

du du du

dx dy dz

et les trois équations précédenles, multipliées rcspeclivement par /, m, n donneront

(2) >/TT7^' ('"^' - ^y ) ^- ^- ('•'-" + '"^'" -^ ''"')•

Or, la droite L, la tangente T à la courbe et la normale TS à l'a surface étant perpendiculaires entre elles, et faisant avec les axes des x^Y: - ^^^^ ^"S^^s dont les cosinus sont respectivement

si l'on prend L dans une dircclion lelîe que la succession des droites L, T, N soit directe, on aura

(mx' — //) V i -^p' -^ r = ^■

En se rappelant d'ailleurs que ex", pj", 0 z" représenlontles cosinus (]<'S ani;les qu<' le rayon p du r(Mc!c oscu-

COUREES DAKS l'espace. 2^5

laleurde la courbe fait avec les axes des coordonnées, ce rayon étant compté de la courbe vers le centre, et en désignant par 9 l'angle aigu compris entre le rayon p et la normale à la surface, on verra le second membre de l'équa -

lion (2) se réduire à dz - sin0, le signe supérieur ou inférieur ayant lieu suivant que p fait un angle aigu ou obtus avec la droite L. L'équation dont il s'agit pourra donc s'écrire

csinG sin 0

i=:zi: f ou r= const.

P P Concevons une surface dévcloppable - langeiite à la surface donnée suivant la courbe en question S'^ si la surface ï vient à être redressée ou développée sur un plan, la courbe 5 se transformera en une courbe plane dont la courbure est précisément (n" 135). Cette expression étant

constante, la transformé<î de la courbe, qui sous un périmètre donné circonscrit Faire niaxima, sera un arc de <'ercle.

118. Clierchons maintenant les condi lions auxquelles doivent satisfaire les extrémités de la courbe. La courbe que l'on cherche devant aboutira la couibc donnée, la fonction v s'évanouit aux deux liniiles. Donc si l'on appelle indistinctement J, 7;, f les coordoniées de l'un ou de l'autre d(\s poinis (îxlrèmes, les termes aux limi(es de la variation de 1 intégrale seront

/ ' ! (- P.x' — Q,/ -R, z')Ss -h P. dç 4- Q. d\ -+- 11. rTç\.

Le terme en ds, ramené à — cô{s^ — .ç^), disparaît avec la variation J (.v, — 5, ) qui est nulle, la différence s^ — .?,, ou la longueur de l'arc, étarU conslanle; et, en substituant h's valeurs i]o P, , O, . I», , on vena les nulres ((Mines se

réduire à . .

ji^'ol

ySn-hz' dç).

Cette expression est identiquement nulle lorsque les points extrêmes de la courbe sont Cxes 5 maïs en admettant que ces points puissent se déplacer le long de la courbe donnée, on aura pour chacune des limites la condition

exprimant, comme il est facile de le reconnaître, que les derniers éléments de la ligne chercliée doivent être normaux à cette courbe.

Parmi toutes les lignes de longueur donnée tracées sur la surface d'une sphère, celle qui renferme avec une courbe donnée la plus grande aire possible, est donc un arc de cercle, normal à cette courbe h ses deux extréjnités. Si la seconde courbe est elle-même un grand cercle^ la ligiie demandée sera une demi-circonférence.

ROBLKME

1 19. Une courbe étant donnée sur une surface quelconque^ trouver sur la même surface une autre courbe de longueur donnée^ et telle que la portion de la surfcLce circonscrite par les deux courbes recouvre le plus grand 'volume possible.

SoitM = o l'équalion de la surface donnée, et considérons la portion de cette surface circonscrite parles deux courbes en question. Le volume du cylindre compris entre cette portion de surface et sa projection orthogonale sur le plan xj s'exprime par l'intégrale double ffzdydx, dans laquelle, en vertu de l'équation u = o, z est une fonction (onnuc de x, y. Admettons qu'on intègre d'aboid par lappori à y, en regardante: comme

COURBES DAKS l'eSI'ACE. 297

constante, et posons > • - .

Tintégrale étant prise entre les valeurs àaj correspondantes aux deux courbes, t^sera une certaine fonction des coordonnées x, j de la courbe cherchée, et l'expression du volume- deviendra fv^dx, on fi^x'cls, en prenant Tare s pour variable indépendante. Cela posé, le problème reviendra à chercher le maximum de Tintésrale

* } vx' -h / (.r''-f-/" -i-z''— I ) -4- p- « j ds,

la diiTéreiice #2 — s^ des limites étant constante, et /, y. représentant deux fonctions indéterminées de s.

On trouve d'abord, comme dans le problème précédent, les équations indétlnies

-^^TFx

• iV

— tL\x"

Multipliant para:', r^ z' et observant que

dv dv ^ dv ^

on en tire

O.'t! = 0, 'il z= c;

on a (j'ailleu)

1i)0 CALCUL DES VARIATI02SS.

les équations (i) deviennent par conséquent

l^ — ex' = o ,

Multipliées respectivement par les cosinus /, m, /z de la droite L qui serait à la fois tangente à la surface et normale à la courbe, elles donnent

z ( mx' — ly) — c [Ix" -f- /;//" -\- nz").

En appelant />, 17 les dérivées parlielles de z^ tirées de 1 équation de la surface /i = o, et B l'angle aigu compris enlre le rayon de couibure p de la couibe cherdiée et la normale à la surface, il est facile de voir, coninïe dans le Problème XIV, (jue

mx' — ly ^ - , ix" 4- m y" -f- nz" =z ± •

La ligne cliercbée sera donc caractérisée par l'équation z . sinO

— ' — — r= const.

sin 0

l.orsque h'o points exircmes de cetle ligtie ne sont })as fixes, mais seuliMuent assujettis à rester sur la courbe doîiuée, ré(}ualion

x oç -\- J'' Sr, -f- "' «îîl = O . fouinir parles icrmes aii\ limlles de la variation de 1 iii-

légraîe, nous apprend que les deux courbes doivent se couper sous un angle droit.

Problème XM.

150. Étant donnés deux plans parallèles et un point A dans Vun d'eux^ on se propose de mener de ce point à Vautre plan une ligne de longueur donnée^ telle que Vaire de la surface cylindrique ayant cette ligne pour directrice^ et pour génératrices des perpendiculaires terminées aux deux plans ^ soit maximum.

Prenons le plan renfermant le point donné pour plan des .ry, et pour axe des z la perpendiculaire élevée au point A : soit Ma dislance des deux plans ou Tordonnée de Textrémilé B de la ligne cherchée AB. Puisque la hauteur h de la surface cylindrique est constante, Taire de cette surface aura pour expression hf sjdx^ -h dj"^ ^ si l'on prend l'arc s pour variable indépendante, il s'agira donc de trouver le maximum absolu de Tinlégrale

A étant une fonction indéterminée de 5.

Ce problème ])réscntc une particularité à laquelle il faut bien faire attention pour ne pas introduire des équations inutiles et étrangères à la ([uestion. En e/]ét , x' et y' n'entrent dans le problème que par la combinaison .r'"-f-y'*. en sorte qu'elles ne conslituent elî'eclivement qu'une seule fonction à déterminer^ lien dans les données du problème ne les distinguant Fune de l'autre, elles ne doivent donc pas être non plus séparées dans le calcul. La conséquence est qu'il est inutile et même illicite d(^ faire varier séparément x' vX y ■ inutile parce <|ue les («tnditions du ])roblème n<' !<' d("-

3oO CALCUL DES VAlllATlONS.

mandent pas, illicite parce qu'en établissant une variabilité hors de propos, on pourrait faire perdre à la vraie solution du problème son caractère de maximum.

En appelant g la projection de Taie s sur le plan xj^ on aura

de— sjdx^ -h dy^ , ou c' =z sjx"-\-y\ et l'intcgrale qu'il faut rendre maximum deviendra

c' -h / ( c'^ -h z'- — I ) I ds.

Au lieu de x,/, z elle ne renferme plus que deux fonctions, CT, ^ à déterminer, ainsi que cela doit être.

La condition de maximum fournit les équations générales

a et b étant deux constantes arbitraires, et, pour la seconde limite de la courbe restée indéterminée, l'équation particulière

Celle-ci doinie a = o, et ]>ar suite

d'où Ton lire

— ^ -j- ^ = o, r/z -f- bda zz: o,

et en intégrant

z -\- ha ~\- c =• o.

Si Ton conipt<^ l'air o à partir du point A, g dc\ ra s'éva-

COURBES DANS L ESPACE. 3oi

nouir en même temps que z, la constante c sera nulle, et Ton aura simplement

Telle est l'équation de la ligue chercliée. Elle exprime que si Fou développe la surface cyliudrique sur laquelle la courbe est tracée, celle-ci se transformera en une droite \ la ligne chercliée est donc une hélice. Quant à sa projection sur le plan xy ou à la forme de la surface cylindrique, elle reste indéterminée, ainsi que cela doit être.

Si l'extrémilé B était fixée, aussi bien que le point initial A, rien ne serait changé au calcul précédent *, la ligne serait donc encore dans ce cas une hélice.

M. Vieille a fait remaïquer (Cours cVuénalyse et.de Mécajiiqiie rationnelle^ Paris, i85i) que dans le second cas, ou lors(jue les points A, H sont fixes, le calcul des variations ne donne plus cette solution, quand on fait varier séparément les coordonnées x et j- ; et il en attribue la cause à un défaut de la règle d'Euler pour les niaxima relatifs. Il nous semble cependant qu'il n'y a point là d'anomalie, et que si le maximum n'est plus indicpié par le calcul, c'est parce qu'il cesse véritablement d'avoir lieu, du moins dans le sens analytique, aucune relation déterminée entre x et y n'ayant, plutôt (ju'une autre, le vrai caractère de maxijuum.

PnonLi^Mt: XVIL

151. Troui^er la courbe de plus vite descente sur une surface donnée.

Considérons un point matériel assujetti à rester sui* une surface doiniée et sollicitée par des forces quelconques. SoitR la résultante de ces forces, X, Y, Z les composantes de R suivant les axes des coordonnées et v la vi-

302 CA.LCt'L DES V A1U\T10IMS.

lessc, OU aura

dt ih> (h: </}' (Iz

(It (îs ds ds

et par suite

i> dv = lidx-\-Xdx-\-Z dz.

Les forces X, Y, Z seiont eu général des fonctions des coordonnées ^, j-, z du uiobîhî : admettons que par la nature de ces forces Xr/.r -f- X dy ->r-'Ldz soit une différeulielle exacte, iY'([uation précédente pourra s'intégrer iinmédiateiuent, et conduiia à un résultat de la forme

v' =: 1 f[ X d.r -r Yr/j>- + Z dz ) — F ( x, j , z- ) — F ( .r , , j»', , z, ) -+- c',

a-j, j 1, Zi étant les coordonjîées du point de dé[>arl, jxmii lequel nous supposons la vitesse donnée et égale à c.

Dans riiypolhèse qu(' nous venons d'admettre sur la nature des foiccs qui agissent siu' le point mobile, la vitesse ^ sera donc fonction des seules coordonnées x, y, z du point occupé actuellement par le mobile, et ne dépendra nullement du chemin qu il a pu suivre pour y arriver.

Le tenqis, exprimé par l'intégrale /— » pendaiit lequel

le mobile descend d'un point A à un autre point B, sera, au contraire, diiférent selon les dilîéren.ts chemins qu'on Toblige de prendre, et il sera minimum poni' un certain chemin ou trajectoire qu'il s'agit de déterminer. Cela posé, si Ton })rend lare s pour variable indépendante, et (lu'on représente par // = o l'équation de la surfat-e donnée, les conditions du problème seront

J'— = min. , x'- + y-' 4- -'' ~ « , if =n, et la(}ues!ion icviendia à chercher le minimum absolu(h =

l'intéffraîe

- -h /(X'2 -^ y'^ 4- z'2 i) + ^a f Js,

/, p. étant des fonctions indéterminées de 5. On a

'^ dy (h-

Rz=-

<'- rt^S

Lîl les équations indéfinies dcvienucnt

v^ dx ' <^/.-r

I dv du.

:i\'y — ?.lr" ~o.

I dv du

Multipliées respectivement par x'.y. r' et .'jjoutéesj elle; donnent

dont rinléiirale est

— -h 2/. nr o.

En examinant les termes aux limites, ou verrait qiie la constante A est nécessairement nulle, en sorte qu'on a simplement

3o4 CALCUL DES VAI.IA.T10NS.

Concevons que par le point x^ y^ z on mène dans le plan tangent à la surface une droite L normale à la courbe cherchée et faisant un angle aiguç; avec le rayon de courbure p de celle courbe: désignons par /, m, n les cosinus des angles que cette droite L fait avec les axes des x,y, z-, nous trouverons, en multipliant respectivement par /, /?/, n les équations (i), el ajoutant,

I / dv dv di'\ 7.\

COS'i*

Menons pour 2/ la valeur que nous venons Av. trouver, et rappelons-nous que

r/c do dv

dx dy dz

il viendra

{-?.) — (/X-f-///y -i-//Z)-|- - COS(p=: O.

EnGn, si 1 ou appelle ^ l'angle compris entre la résultante R el la droite L, celle équaiion s'écrira plus simplement

Or, on sait que la fon e <<M)lrifuge est égale à - cl que sa

direction est opposée à celle du rayon de eouihuie p. Ainsi le pionnier membre lepréscnle la force centrifuge estimée suivant la droite L, tandis (jue le second mcmbn* exprime la force R estimée suivant la même direction. Ces deux conq^osantes étant égales, on en conclura que la pression exercée dans la direction latérale \j par le mobile sur sa uajceloiie, lorscpie ((;tle tiajeeloire est une bi"aclvisîo< broiie, est \yi double de <ell(^ (jni aurait lieu (mi

COURBES DARS LESPACE. 3o5

vertu de la seule force R, si la vitesse t' était nulle, c'està-dire si le point matériel était en repos 5 en d'autres termes : la force centrifuge 'vient s^ ajouter aux forces réelles de manière à produire une pression latérale double. C'est la propriété la plus générale de la ligne de plus vite descente sur une surface quelconque.

452. Dans le cas particulier où le mobile est soumis à la seule action de la pesanteur, on a, en faisant coïncider l'axe des z avec la direction de la pesanteur, et en désignant par g l'accélération dans la chute libre,

l'équation (2) devient alors

i[z — h) coso

Si l'on prolonge la droite L, qui est à la fois tangcnlc à la surface et normale à la courbe, jusqu'à ce qu'elle rencontre un certain plan horizontal dont l'équation est z = h^ et qui passerait par le point de départ du mobile si la vitesse initiale était nulle, cette droite ou normale

. z — h . , . , aura pour expression ; la dernière équation exprime donc que le rayon de courbai e de la brachisloclirone est le double de la projection de la normale ainsi déterminée sur le plan oscuiateur de la courbe.

153. Revenons au cas généial, où les forc(îs X, Y, Z sont assujetties à la seale<'ondi lion que ^Ldx-i-Y dy-i-Z,dz soit une diflérentielle exacte, et supposons (jue le mobile soit entièrement librc^ en sorte que le clieniin (pi'on lui fait suivre puissi; être choisi parmi toutes les courbes dans l'espace menées entre les mêmes points extrêmes, la condition u=z() n'ayant plus lieu, le facteur usera nul; on IV. 9.0

3o6 CALCUL DES VARIATIONS.

aura d'ailleurs, comme auparavant,

-xk

les équations (i) deviendront, par conséquent,

/ dv

c'x' -hv.v" = G,

V z -f- vz = o .

(Iz

En désignant, pour un moment, par a, (3, y les angles que la normale au plan osculateur de la courbe fait avec les axes des x, y^ z. et multipliant respectivement par cosa, cos|3, cosy ces dernières équations, on trouve

dv dv dv

-— CCS a H — CCS S H — - cos 7=0,

dx dy * dz

Xcosa -4- Ycosp -4- ZCOS7 =<^>

et l'on en conclura que la résultantes R est perpendiculaire à la direction déterminée par les angles a, |3, y, c'est-à-dire que le plan osculateur de la courbe contient la résultante.

D'ailleurs, si 1 on appelle w l'angle compris entre la résultante R et le rayou de courbure p, les mêmes équations (3), multipliées respectivement par x" , y" , z'\ donnent

(^) =:R COSW,

et l'on en conclut : 1^ que l'angle w est >9o'', en sorte que le rayon de courbure p est directement opposé à la projection de la résultante sur le plan normal à la courbe^

ÏS*t''".

COURBES DANS L^ESPACE. Zoj

2° que la pression totale exercée par le mobile sur sa trajectoire est double de celle qui aurait lieu si la vitesse était nulle.

154. Considérons maintenant le cas plus particulier où le mobile est sollicité par une seule force centrale. En prenant le centre de la force pour origine des coordonnées, on a

Xz=

r étant le rayon vecteur ou la distance du mobile au centre 5 et les équations (3) deviennent

Rz vr

- v' z' H- vz" = G

En éliminant R entre les deux dernières, on trouve

on obtiendra des résultais analogues, en éliminant V\ entie la première et la tioisièrne ou entre les deux premières équations, et Ton aura onsnile, en intégrant,

rz' ~zj' =^ m>,

ZX XZ =1 ^c,

■■rj' —yx ^=.cv, o^ h^ c élant des constantes aibilraires. Ces li'ois éqna-

3o8 CALCUL DES VARIATIONS.

lions multipliées respectivement par x,^, z donnent

ax -\- by -\- cz-=.o^

équation d'un plan passant par le centre. Il en résulte que la ligne de plus vite descente est une courbe plane 5 elle est d'ailleurs caractérisée par l'équation (4).

Lorsque le point mobile est sollicité uniquement par la pesanteur, on a

ré({uation (4), devenue

û = — 2 (£ — // ) sec w ,

exprime alors que le rayon de courbure est le double de la normale prolongée jusqu'à la rencontre du plan z = /^, propriété bien connue de la cycloïdc.

Problème XVIII.

155. Trouver la courbe de plus vite descente dans un milieu résistant homogène.

Nous admettons comme évident que la courbe doit être comprise dans un plan vertical, et nous désignons les <:oordonnées d'un point quelconque de la courbe par x,y, en faisant coïncider l'axe des y avec la direction de la pesanteur-, nous prenons d'ailleurs, comme auparavant, l'arc s pour variable indépendante. Cela posé, soit u la vitesse, g l'accélération dans la chute libre, <f (t^) la résistance, qui doit être une certaine fonction de la vitesse^ l'équation du mouvement sera

tlv dv (Is I

et le temps aura pour expression / — En regardant x,

COURBES DANS l' ESPACE. 809

y^ V comme trois fonctions de s qu'il s'agit de déterminer, on aura donc entre ces fonctions les deux relations

J^"-hj"=i, ('/-htp(p) — gj'=io,

et le problème reviendra à chercher le minimum absolu de l'intégrale

Si dans les formules générales du n'' 131 on remplace z par P*, on aura

P=irO, Q=0, • R — — - -h f>t<^'-hfX(p'{('),

et la règle de minimum conduira aux équations

2 ;' Jt' 4- 2 A x" =0,

^ p.' + 2 X' j' -J- 2 ly = O ,

Multipliant les deux premières par x', j' (il substituant gy' sa valeur uu -{- 9(1^), il vient

La troisième équation multipliée par ^^ se transforme e

•j. ce' -f- u. ^ ' =: O

3lO CALCUL DES VARIATIONS.

retranchant celle-ci de la précédente, on trouve

(il d.^<^(v) ^

ds ds ds

ds ds

el, en intégrant-

2À — pa'(t') — - = /.

La considération des termes aux limites de la variation de rintégralc proposée fera voir que la constante k est nécessairement nulle, en sorte que celte équation devient simplement

(2) 'AA — fx?{«0 — -==0-

On trouve d'ailleurs, en intégrant les deux premières équations (i),

rt, h étant deux constantes arbitraires. Ajoutant les deux relations primitives

nous aurons cinq équations (2), (3), (4) entre lesquelles nous pourrons éliminer les quatre inconnues X, p, .^5 J '• Ce calcul cflectué donne

COURBES DANS l'eSPACE. 3 i i

équation qui déterminera u en fonction de 5, aussitôt que la forme de la fonction cp (t^) ou la loi de la résistance sera connue. Reportant la valeur de p» ainsi obtenue dans 1 equalion

on en déduira ensuite une équation entre y et s qui sera l'équation de la courbe chercliée.

156. Lorsque la résistance <p(i^) est nulle, les deux dernières formules se réduisent à

dont la seconde s'intègre immédiatement et donne

ir-='2g{f— c).

Substituant dans la première équation la valeur de i^u' fournie par la seconde, on trouve d'ailleurs

enfin, quand ou élimine i^^ entre celte équation et Ja précédente, il vient

d'où Ton lire successivement

dx . I

ils

da:=±dyKLl^lllZZLlL.,

résullat-dans lequel il est facile de reconnaître l'équation différentielle de la cyc loïde.