Cherchons niaijitcnant quelles sonl, dans le cas
3l2 CALCUL DES VARIATIOIVS.
général, Jes équations aux limites auxquelles idoivent satisfaire les extrémités de la courbe. En désignant par J, yj, V les valeurs de x, y, t' correspondantes à Tune ou à Tautre des extrémités, on verra les termes aux limites de la variation de l'intégrale se réduire à
IjSl variation de l'arc s^ — 5^ étant arbitraire, ces termes égalés à zéro fournissent d'abord la condition A = o, déjà admise par anticipation.
Ayant tenu compte, au moyen du facteur j^x, de la relation qui existe en un point quelconque entre la vitesse r et les coordonnées x, y^ nous sommes dès à présent autorisé à regarder la variation o v comme arbitraire et indépendante des variations 0 J, ^ïj. Donc, si l'on suppose que la vitesse soit donnée au point de départ A, mais qu'elle ne le soit pas au point d'arrivée B, on devra rendre nul le cocflicient \x de ^v à la seconde limite, dès lors les équations (!^), donnant pour cette même limite
montrent qu'au point \\ la tangente à la brachistocbrone fait avec les axes des coordonnées Avî> angles dont les cosinus sont dans le rapport de a à h.
Lors(jue les points extrêmes A, \\ ne sont pas fixes, mais seulement assujettis à lesler sur deux courbes données, l'équation
(pii doit subsister aux deux limites, moiitie que la tangfMiK' à (liacun*' des rourlx's liniilcs aux points A, 1) <st
'"' /■ 'COURBES DAK s l'eSPACE. 3i3
normale à la îdireclioii détermiuée par des cosinus proportionnels à a, b, . .' .; ' • : X Vi ^ ' *
On en conclura sans peiiie que si Ton cherclie entre deux courbes données la ligne de plus vile descente dans un milieu homogène, résistant suivant une loi quelconque, ces deux courbes doivent avoir leurs tangentes parallèles aux points de» départ et d'arrivée du mobile, et que le mobile doit rencontrer la seconde courbe sous un angle droit, quelle que soit d'ailleurs sa vitesse initiale.
Ce résultat est identique avec celui que nous avions déjà trouvé pour la brachistochrone dans le vide {Probl.Vll).
Problème XIX,
158. Trouuer la position que doit prendre un fil Jlexible et inextensible sur une surface donnée, pour que son centre de grawité soit le plus bas possible. — On sait que dans cette position le fil sera en équilibre.
Supposons que l'axe des z coïncide avec la direction de la pesanteur, l'ordonnée verticale du ceiilrc de gravité du (il sera
C'est l'expression qu'il faut rendre maximum sous la condition que fds ou la longueur du fil reste constante, et que les coordonnées x, y, z satisfassent d'ailleuis à 1 é(juation de la surface donnée, // z=r o, ainsi qu'à la relation x'"^ -h j'~ -{- z'' = i. Le problème revient donc à chercher le maximum absolu de l'intégrale
\{x''-^ X''-hz'' — i)-i-lxu\ds,
la différence s^ — 5, des limites, ou la longueur de la courbe, étant constante, et 1, p. désignant deux fonctions indéterminées de s.
3l4 CALCUL DES VARIATIONS.
On a '^
j. du du du
et les équations indéfinies deviennent
' du
fi) ( p.- 2a'j' — 2Xr''=o,
l -{- Il 2/2 — 2 / S =r O .
Multipliées pai .x', j ', ^', elles donnent
Soient /, in. n les cosinus d(;s angles de la droite L qui tangente à la fois à la surface et normale à la courbe ferait un angle aigu avec le rayon de courbure p^ si Ton multiplie respectivement par /, ///, n les mêmes équations (i), il vient
// — 2 A ' l.r" -4- ///} " -h tiz" ) :=! ii^
ou bien
P = sm G,
B étant l'angle aigu compris enirc le rayon de courbure p du fil et la normale à la suifact;. Pour interpréter cette for-
mule, nous ferons observer que (,'st la normale h la
courbe menée dans le plan tangent à la surface et prolongée jusqu'à un certain plan liorizontal dont Téquation est z = c. Donc le rayon de courbure p est égal à la projection de la nonnale ainsi dclenninée sur le plan osculalcur de lu courbe, uvo\n'\v\v analogU(^ à celle de
COURBES DANS L ESPACE. 3l5
la cliaîaettc. Si Ton appelle L la longueur de la normale dont il s'agit, il viendra '-
^c=sine;
on a d'ailleurs, d'après le ikéorème de Meunier,
-'- == ces 6,
jOo étant le rayon de courbure de la section normale passant par la tangente à la courbe. Il en résulte
tang G = — 5
JL
(ormules qui serviront à calculer la grandeur et la direction du rayon de courbure p, lorsque la direction de la tangente sera donnée.
159. En appelant ^, rj, ^ les coordonnées de l'une ou de l'autre des exlréniilés du fil, on verra les termes aux limites de la variation de l'intégrale proposée se réduire à
c^{s^ — s,) -h {c — r) ( .r'oH -f- y' or, -+- c'rK).
La diilérence 5j — jj, ou la longueur de la courbe, étant «constante, le terme cd^s^ — Si) est identiquement nul • quant aux autres termes, ils fournissent pour chacune des limites la condition
x' oc -\- y' or, -^ z' o'I =::z O ^
exprimant que si les points extrêmes du fil, au lieu d'être fixes, peuvent glisser le long de deux courbes données, K; fil se placera de manièie à avoir ses extrémités normales à ces courbes limites.
3l6 CALCUL DES VARIATIONS.
