TREIZIÈME LEÇON
Applications k des intégrales doubles. — Maximum ou minimum de l'intégrale f f {^ — P^ — qyy^dydx. — Maximum ou minimum de f J sj p' -\- <:(^ dy àx . — Maximum ou minimum da ff{z — px — qy)dydx, l'intégrale ff \Jp'-^<j'' dydx étant constante. — Surface à aire minimum . — Surface dont le centre de gravité est le plus bas possible. — Surface renfermant un volume donné et dont le centre de gravité est le plus bas jiossible. — Surface à aire minimum recouvrant un volume donné.
160. Dans cette nouvelle Icçou nous avons à donner quelques exemples de la i cclierche des maxima et minima des intégrales doubles. Les règles et formules générales relatives à ce cas ayant été exposées avec détail dans la VIP leçon, nous n'avons pas à y revenir, d'autant plus ({ue nous conserverons avec soin les notations adoptées.
Problème XX.
Trouver une. surface telle, que Vintêi^rale
j ' i 'i>^dfdv
soit maxiniuin ou niîtiiniuni, u étant la portion de Vaxc des z comprise entre l'origine et le plan tangent à la surface au point x^y, z.
On a
V —z — px — qr, V zz= c"' — (r — px — qy)'% N — ///<-'" ', P — — ///('"' -'.r, Q z= — /;/( "'--' r ;
séquent
réquation indéfinie N -^ = o devient par con
/ 3 du <Ii^\
\m — i dx dy j
'- — , — éiant les dérivées partielles de v considéré comme Sx dy
fonction immédiate de x^y. Cette équation est satisfaite,
1° si Ton fait p» = o, valeur qui rendrait l'intégrale nulle
et donnerait pour solution une surface conique ayant son
centre à l'origine des coordonnées-, 2^ si l'on fait
3 dv dv
^ ' m — I dx. dy
nous ne nous occuperons que de cette seconde solution.
L'équation (1) aux dérivées partielles du premier ordre par rapport à v s'intègre facilement par la méthode ordinaire et donne
ou
F étant une fonction arbitraire. C'est encore une équation aux dérivées partielles du premier ordre relativement à z\ en l'intégrant, et faisant, pour abréger.
on aura
3l8 CALCUL DES VARIATIOKS.
Telle est 1 intégrale générale de réqualion (i). Elle représente une infinité de surfaces distinctes, suivant les formes assignées aux fonctions arbitraires o et t|;.
161. Lorsque les limites de l'intégrale sont fixes, ainsi que les valeurs correspondantes de z, ou lorsque la surface doit être circonscrite par un contour donné, la règle de maximum ne fournit point d'équations aux limites, et les fonctions arbitraires seront déterminées par la condition même qne la surface passe par ce contour. Mais si l'on donne seulement les valeurs limites d(î x, y, ou la projection du contour sur le plan jy, sans les valeurs correspondantes de z, la condition de maximum ou de minimum exige qu'en diaque point du contour on ait
OU
(3) «'"""' ( yf^f — ^^h) ^^^ ^^•
Le facteur yrïx — Xffy ne peut être nul que lorsque la projection du contour est une droite passant par l'origine des coordonnées^ pour toute portion du contour qui ne remplit pas cette condllion, on aura donc i^ = o, et par suite
-•©=■•• ^iS)
ajoutons que sur cette partie du contour le rapport -
varie nécessairement d'un point à l'autre, et nous en conclurons que la fonction ^ est nulle en général ou pour chaque point de la surface. L'équation (2) réduite à
représente* alors une suiface conicjue ayant son sommet
APPLICATIONS A DES INTÉGRALES DOUBLES. Sig
à Forigine des coo rdonnées. La valeur de u qu'on en déduit étant constamment nulle, celle de l'intégrale est aussi nulle, et l'on comprend sans démonstration que 0 c'est un vrai minimum, du moins lorsque l'exposant m ^ est un nombre pair et positif. ^
462. Considérons maintenant le cas où le conlour n'est pas donné, mais seulement assujetti à rester sur deux ou plusieurs surfaces données*, soient /?', (j' les dérivées partielles de z relatives à l'une de ces surfaces, on aura pour la portion du contour quelle doit renfermer
