V-+-P(;/;;)-hQ(r/'— .y)==o

f,m-x ) ç | ,„j. (^p ^ pf] -^ niy {(j fj' \ J = O ,

équation qui sera satisfaite, soit par

<' = o, soit par

z — p.T — qy m

La première solution v =^ o ramène la surface conique du cas précédent-, la seconde exprime que si Ton mène des plans tangents à la surface cherchée et à la surface teiininale par un point quelconque de leur ligne d'intersection, les portions de Taxe des z compiises entre l'oiigine et ces deux plans seront entre elles dans le rapport

m constant

163, Pans ce qui précède, nous avons admis implicitement que l'exposant m était plus giand que l'unité. Au lieu de nous arrêter à discuter le cas de m = i ou /;/<^ i , considérons le ])roblème plus général où l'on cherche le

Diaximum ou le minimum de l'intégrale

ff/K

■^ dans laquelle

^^ j^ ■ I \ \ f{<']dyd.r,

Nous avons

V=:/(,.), N=:/'(<.), P=:-x/'(.), (^=.-yf'(v).

L'équation indéfinie

d.f'iv) d.fU')

équation aux dérivées partielles du premier ordre, lorsqu'on y regarde /'(<') ^'oninie fonction immédiate de jr, r, s'intègre sans peine par la méthode ordinaire et donne

F étant une fonction arbitraire.

Soit, par exemple,

on aura

et

px-\-(iy.

En inlégranl de nouveau, il viejit

^^ (îl '^ étant deux fondions aibitraires

Problème XXI.