Trouver la surface pour laquelle Vintégrale

px — qy)dydx

soit un UKtxiniuin ou un luinîmuni^ en même temps que

Vintégrale

\ j sjp' + (f-.drdx

consente une l'aleur donnée.

Ce problème se ramène à la recherche du inaximun ou minimum absolu de l'intégrale

1 / {z — pX'- qx-\- n \!p^ -f- ry-) dfd.r,

dans la([uelle n est une quantité constante, mais inconnue.

On a

N z=z— p.r ~ qj -^ n \JjP -h 7' ,

\V -h </' ■ sIp^-^ q-

et Téquatioi) indéfinie

intégrée par la méthode de Monge, donne

<f et t}/ étant deux fonctions arbitraires. La surface représentée par cette équation est évidemment une surface annulaire ou tore engendré par un cercle de rayon •- qui

se meut dans l'espace suivant une loi quelconque, en restant toujours parallèle au plan xj. Si Ton nomme J, >7, Ç, les coordonnées variables de son centre, on aura

et ces équations, lorsqu'on aura déterminé les deux fonctions arbitraires, représenteront la courbe directrice que le centre décrira dans son mouvement. I^es valeurs des dérivées partielles du premier ordre /; et f/ s<^*ront d'ailleurs

'' ~ ~ [x + T(^)]/(:^)-4-[jH-4'(^)]f(^)'

166. Parmi les diverses hypothèses qu'on peut faire relativement aux limites, nous n'examinerons que celle où la surface (i) doit se terminer dans deux ou plusieurs surfaces données. Soient //, fj' les dérivées de z relatives à chacune de ces surfaces terminales, la portion du contour qu'elle doit contenir sera caractérisée par l'équation

VH-p(/;

-/^)-HQ(7'

ou bien

par

■^<iq'

Supposons, par exemple, que l'une des surfaces limiles soil un plan ayant pour équation

z = ax -\- hy., on aura

et l'équation (2) se réduit à

Remplaçant p el q par les valeurs trouvées ci-dessus, il vient

(3) z 4- flo(i) 4- />"M~' = o;

et, en éliminant o{z)^ ^ [z) à l'aide des équations

qui donnenl les coordonnées du centre du cercle générateur,

Sous cette forme on voit que le centre du cercle générateur doii se trouver ronstamuient dans le plan limite. Si la surface cherchée devait se termine)- de l'autre côté sur un second plan dont l'équation fui

on ti'ouverait également pour rinterseclion correspondante.

(zj) z + n'',[z)-\-b'-^j{z)-0

et

l —a'l-\-b'ri,

d'où l'on conclut que le centre du cercle générateur doit se trouver aussi dans vo second plan, en soile qu'il se mouvra 1c lon£< de l'intersection des d<'u\ plans limites;

APPLICATIOWS A DES INTÉGRALES DOUBLES. 3a5

la surface cherchée sera donc un cylindre oblique à base circulaire, ayant pour axe l'intersection des deux plans. Les fonctions arbitraires o et ij/ seront dans ce cas déterminées par les deux équations (3) et (4) , qui donnent

ab'—a'b' •^"^— ab'—a'b'

et la fonction z est alors parfaitement connue, sauf la constante /ï, dont on disposera pour faire prendre à l'intégrale//^/;* -h ^*.^^^ia: la valeur constante qu'elle doit garder. Il serait impossible d'assujettir la fonction z à aucune nouvelle condition relative aux limites de .r^ si donc les autres conditions, qu'on peut se donner relativement aux limites, ne sont pas satisfaites d'elles-mêmes, le problème deviendra impossible, et il n'y aura ni maxinmiu ni minimum.

Problème XXIII.

167. Trouver la surface dont Faire entre des limiles données soit la plus petite possible.

La diflerentielle de l'aire étant \/ i -\- p^ -h q^ d)dx, l'intégrale qu'il faut rendre minimum sera

\fl -{- p- -{-q'.dydr.

On a

L'équation indéfinie du problème et qui doit clélermi ner la forme générale de la surface cherchée^, sera donc

ou

!^) ' ( I -h q-) f — 2pq^ -r- . I -i- p') t ~ O

or elle exprime la propriété bien connue, qu'en chaque point de la surface minimum la somme des deux courbures principales est nulle, ou, en d'autres termes, que les deux rayons de courbure principaux sont égaux et dirigés en sens contraire.

Lorsque le contour de la surface dans l'espace sera donné, les fonctions arbitraires amenées par l'intégration de l'équation (i) seront déterminées par cette seule condition, et il n'y aura plus d'équations aux limites. Mais si Ton assigne seulement les valeurs limites de X et dey, sans assigner les valeurs correspondantes de z, ou si l'on ne donne du contour que sa projection sur le plan .7^, on devra avoir le long de cette projection

Q dx — P <ly irr o ou q (l.T — p (ly z=z o ,

et celte équation exprime que la surface minimum rencontre sous un angle droit la suiface ou les surfaces cylindriques qui projettent le contour sur le plan xy. Le plan qui a pour équation z =: c, satisfait à la fois évidenmient et à cette condition et à l'équation génélalc (2). Il est donc la solution la plus simple du problème dans le cas dont il s'agit ; mais le difficile serait de dcinonlrer (ju'il est la seule solution possible.

Supposons maintenant (jue la surface minimum, au lieu d'elle limitée par certaines courbes ou par certaines parois cylindri(}ues, soil assujettie à se terminer dans deux ou plusieurs surfaces données mais quelcon- (jU(.'s^on aura alors en diacjue point du contour entier

V -h P(// — />) -h Q(7'— y) =r 0, ou I -t- />// -h <7</' — o ,

équation qui prouve que la surface minimum rencontrera sous un angle droit chacune des surfaces limites.