L'intégrale générale de l'équation (i), qui repré

sente toutes les surfaces minima, a été obtenue, pour la première fois, par Monge, mais sous une forme toute compliquée d'imaginaires qui la rendait peu propre aux applications. Legendre, et plus tard MM. Serrct et Catalan, se sont occupés à leur tour de celte même intégrale, soit pour vérifier le résultat de Monge, soit pour le simplifier. Enfin, M. Ossian Bonnet, en développant les principes sur lesquels Gauss fonda ses belles reclierclics relatives à la théorie des surfaces, a montré que ces mêmes principes conduisent facilement à une forme simple de l'intégiale dont il s'agit. iSous indiquerons en peu de mots la marche suivie par M. Bonnet, dans son excellent Mémoire sur remploi d'un riouucaii système de variahdes [Journal de Liouvdle, t. V, i85o), pour obtenir sous forme finie l'équation de la surface minima.

Soient a, (3, y les angles de la normale à la surface avec les axes des coordonnées, J l'angle avec le plan xz du plan mené par la normale parallèlement à l'axe des z^

et posons 73 = / lang -7 en sorte que tang - = c^ : \ et yj

sont les nouvelles coordonnées ou variables indépendantes qu'il s'agit de substituer à x^ y. En désignant par i l'unité imaginaire \j — 1 , on aura

Sin7=: , COS7 rr: / tanC/rj,

COS /yj

cos Ç COS a == sin 7 cos H = ?

COS lYi

(, ■ -. sinÇ COS p =r: sin 7 sin t = >