I .'■/■.* rfç f/î

dcdr'

. dt d-^'Q w = i tang ir. — — I — - —

dr, dr,"^

on trouve, après quelques réductions faciles,

dx CCS Ç 4- dr sin H = — / tang ir, [vd'i + «y/ y, ) , (^) 7 rfx sin ^ — dy cosl = udE -i- pdr], dz cas ir. =: vdt -\- wdr,.

En faisant tour à lonv dj=o^ Jx=o, on déduit do

1 1 1 1 f ' , . ., dï. d^

CCS équations Jes valeurs aes denvccs pariiclles — > —-•>

— 5—7 et ces valeurs substituées dans l'équation (3) lui font prendre la forme très -simple

(8) U -{- Wz=zO.

Or^ si Ton regarde J, yj, à leur tour, comme des variables ijidépendantes , la troisième des équations (7) donne

dz <' = -7- cos/V, , dt

dz iv = -— cos ir. :

dr.

on trouve d'ailleurs par les équations (6)

du ( de, d'%\ d't

-— = i lumi ir. i Uu)ii ir. 1 H '—

dn =^ \ ^ dr, dr,-"] dl-'dn

dv =z — -\- wi tang/ y;

d^z dz .

= -j— COS fr. -h-r ' ^'" ' ^ i dt,^ dr,

33o CALCUL DES \A^.IATIO^S.

on aura donc, en différentianl par rapport à tj Téqualion u -{- \v= o,

équation bien connue, dont l'intégrale générale est

9 et <|^ étant des fonctions réelles ou imaginaires. Toutefois il faut observer que cette intégrale est plus générale que l'équation proposée (i) ou (8), et qu'en déduisant de z la valeur de t au moven de la relation

Ç z=z fz COS ir, dr, ,

on devra déterminer la fonction arbitraire de ^, introduite par Tintégration, de manière à satisfaire à la condition // -h^i' = o.

Supposons, par exemple,

ç,(^ + /r,)rr=^(<2-/^)(H + /r,), ^{^ - i r^) = '-(a-^ ib) {^~ ir^),

a, h étant des constantes réelles et positives, nous aurons successivement

z =zaç ■+■ l)y. y

^=z fz COS / r, dr. z=. f {a't-{- h r, ) COS Ir, d r, = — (n'ç ^ br.)isu\ fr. — 0 COS / /, -f- X ,

X ('tant une fonclion arbitraire de '£ dont X' et X'' seront les dérivées par rappoit à '£ du j.iejnier et du second ordre-,

a = — /; ces / /-. -h X" -f- X , w z=z b cos ir, ,

Cl en intégrant,

X =: C ros ç 4- C sin Ç.

j Applications a des intégrales doubles. 33 ï

Faisons, pour simplifier, C = o, C'= o, il viendra , X = o,

t = — {al -h br,)i sin ir, — ■' b cos ir, ; et les équations ( 5 ) donneront

ix = b cos ir, cos Ç — ai sin ir, sin Ç , y = b cos ir, sin ^ ■+- ai sin /rj cos H , z =z aB -h br,y

ou bien, en coordonnées polaires, si l'on fait x =^ r cos w, y zrz r sin 0),

/ r cos (w — Ç) =: Z; cos /r, ,

(i ï) \ /•sin(w — H) = flfsin/r, ,

Les équations (lo) et (i i), en supposant qu'on ail éliniijic J;, y], représentent une espèce particulière de surfaces juiiiima. Dans le cas particulier où a= o, elles donnent

r=zb cos — ^=z - \e -\- e -,

équation de la surface de révolution engendrée par une

chaînette.

Si ^ =: o, on a

équation de riiéliçoïde gauche à plan directeur.

Dans le cas général, où « et Z? sont quelconques, Téllmination de ^, y; donne

z — aui zzz a arc tang- i / \- bl

a /r^~- b' i//^ -f. <v' 4- \fF—J'

équation qui représente évidemment une surface engcn-

drée par le mouvemem hélicoïdal autour de Taxe des z, d'une certaine courbe plane dont on trouve l'équation en faisant dans celle qui précède o) = o, /= j:.

169. Il existe un moyen très-simple de réaliser une multitude de surfaces à aire miiiima, c'est-à-dire à courbure moyenne nulle, ou, plus généralement, à courbure moyenne constante. M. Plateau a fait voir, en effet, que cette propriété d'avoir sa courbure moyenne nulle ou constante est la condition d'équilibre d'une lame liquide très-mince, d'une bulle de savon par exemple, dont la masse est sensiblement nulle, et que l'on peut considérer pour cette raison comme soustraite à l'action de la pesanteur, comme soutnise à la seule action des forces moléculaires : si celle lame est fermée de toute part de manière h emprisonner une certaine quantité d'air, la courbure moyenne est constante, et plus ou moins grande selon la différence des pressions intérieure et extérieure 5 si, au contraire, la lame est en contact, par ses deux faces, avec l'air libre, la courbure moyenne est nulle.

En se servant, pour faire naître ces bulles ou laaies, d'une solution de savon etdeglycéiine mélangés, M. Plateau a su leur donnei- une persistance extraordinaire. On peut alors étudier tout à l'aise les formes très-diverses, très-originales, suivant lesquelles les lames liquides s'arrondissent ou s'étalent, lorsqu'on les assujeltlt à adhérer aux contours de charpentes rigides dessinées à l'aide de fils de fer légèrement oxydés par l'acide nitrique, et qu'on plonge un instant, pour les retirer presque surle-champ, dans le mélange glycérique. L'illustre physicien a ainsi créé un procédé facile et charmant de résoudre expérimentalement le problème de la moindre surface passant par un contour donné.

Veut-on, ])ar exenqde, la surface eng('ndré(î pai' la ré-

volution d'une chaînetle autour de sa directrice, surface à laquelle M. Plateau a donné le nom de caténoïdcy on introduit, au moyen d'un pinceau imbibé de solution glycérique, une petite quantilé de liquide entre deux anneaux circulaires presque en contact -, on soulève doucement Panneau supérieur, et Pon voit un caténoïde laminaire arrondir sa surface entre les deux anneaux. En continuant à faire monter graduellement Tanneau, on voit le caténoïde se resserrer, s'étrangler en son milieu, et bientôt se rompre pour se convertir en deux lames planes s'élendant sur les deux anneaux. Cette rupture a lieu lorsque la distance des deux anneaux est à peu près égale aux deux tiers de leur diamètre, exactement comme l'exige la théorie. Il résulte, en effet, de notre discussion du problème de la moindre surface de révolution (n" 103), que la chaînetle génératrice devient impossible lorsque le rapport entre la distance et le diamètre des deux bases, supposées égales, dépasse cot(56"28') ou 0,6627. Nous avons vu, en outre, qu'aussi longtemps que cette limite n'est pas atteinte, il existe deux chaînettes ayant Taxe de révolution pour directrice, mais que c'est l'extérieure ou la moins rentrée qui seule donne le minimum. Or ce résultat, que nous croyons avoir tiré le premier du calcul des variations, est encore parfaitement d'aecord avec l'expérience^ cai- M. Plateau avait déjà observé que des deux caténoïdes j>ossibles, cpi'il a le ])remier signales, c'est toujours le moins rentré qui se produit, et il en avait conclu que le caténoïde intérieur ou plus lenlré est instable.

Problè:me XXIV.

(70^ Ç)u3lle Jonne doit avoir une surface d'étendue ou d^aire donnée pour que son centre de grav^îié se trompe te plus bas possible ?

Si Pon suppose que l'axe des z coïncide av(v. la direc-

334 CALCUL DES VAPaATlONS.

lion de la pesanteur, Taire U de Ja surface sera

sjx H-/?^ -\- q^ .dy dx ^

el l'ordonnée verticale de son centre de gravité

l zs/l -hp'-i-q\djdx.

La question consiste à trouver parmi toutes les forraes de la fonction z pour lesquelles l'intégrale U prend une certaine valeur déterminée, celle qui donne pour Z, et par suite pour UZ, la plus grande valeur possible-, ou à chercher le maximum absolu de l'intégrale

z — " ) V I -\- p^ -^ q"^ . dy dx ,

dans laquelle a est une nouvelle quantité constante mais inconnue, qu'il faut déterminer, de manière à faire prendre à l'intégrale U la valeur donnée qu'elle doit avoir. On a

et la forme générale de la surface cherchée sera déterminée par l'équation indéfinie

(l) X+p'-^q''=z[z-a)\(i^q')r~ipqs-\-{l+p^)t\.

Cette équation expiirue une relation remarquable entre les rayons de courbure principaux R, R', de la surface. En eiïet, si l'on regarde chaque rayon comme

positif, lorsqu'il est dirigé en bas, c'est-à-dire lorsqu'à partir de la surface sa direction forme un angle aigu avec le demi-axe des z positifs, et négatif lorsqu'il est dirigé en haut, on aura

(l -\-p'-^t et l'équation (i), devenue

R R' (2«)y/n yy^4^2

exprimera que le rayon de la courhiire moyenne est le double de la normale prolongée jusqu'à un certain plan horizontal dont l'équation est z z=l a.

171 . Lorsque le contour entier de la surface est donné, la condition de maximum ne fournit aucune équation aux limites. Mais si l'on connaît seulement la projection du contour sur le plan xy^ ou les valeurs limites de y et de X sans celles de z, on devra avoir en chaque point du contour

Q d.T — P dy rr: o OU qdx — pdj = o ;

équation qui exprime que la surface est partout normale aux cylindres ou aux plans qui la limitent dans le sens des X et des y.

Plus généralement, si le contour devait se terminer sur deux ou sur plusieurs surfaces données, de forme quelconque, on aurail, en représentant par/?', q' les dérivées partielles de z relatives à Tune ou l'autre de ces surfaces terniinnlcs, la condition

336 CALCUL DES VARIATIOKS.

l-hpp' -{-qq' ~0,

c'est-à-dire qu'en chaque point du contour, la surface cherchée devrait couper les surfaces limites sous un angle droit.

172. La surface dont le centre de gravité est le plus bas, a beaucoup d'analogie avec la chaînette, qui parmi les courbes jouit de la môme propriété. Pour rendre cette analogie plus frappante encore, supposons que la surface représentée par l'équation (i) soit un cylindre aj^ant sa ii^énératricc parallèle à l'axe des y^ et cherchons quelle doit être alors sa forme. On aura dans ce cas q = o^ 5 = o, ^ = o, et l'un des rayons de courbure principaux sera infini, tandis que i autre se réduira ,

R =z [z — a)sji-^p\

Dans cette équation, qui détermine la forme de la section normale à Taxe des y, on reconnaît sans peine l'équation de la chaînette. INIais il faut se garder d'en conclure que la surface ainsi déterminée soit parmi toules les surfaces cylindriques celle dont le centre de gravité est le plus bas; elle ne le serait en eifet que dans le cas où la longueur de la génératrice ou la diiïércncej^j — y^i resterait constante. Dès que la didérencej ^ — /j red(îvient variable, la courbe dinîctrice <lu cylindre cesse d'être une chaînette. Pour trouver, en effet, la surface cylindrique dont le centre de giavité est le plus bas, il aurait fallu dès le départ faire entrer en ligne de compte la condition (j = o, ce qui aui-ait modifié sensiblement Fécpiation générale (i). An reste, celie dernière question est celle que nous avons traitée, Problème XI, en cherchant la forme <ré(]uilibre d'un fil dont la densité ou l'épaisseur est \\iriable.

APPLICATIONS A DES IKTÉGRAtES DOUBLES. ^3'

Problème XXV.

173. Un certain volume de matière homogène est terminé en haut par un plan horizontal^ en bas par une surface courbe d'étendue ou d'aire donnée^ quelle doit être la forme de cette surface pour que le centre de granité du volume soit le plus bas possible P

Si l'on prend le plan horizontal donné pour pian des xj et la direction de la pesanteur pour axe des z, le problème revient à chercher le maximum de l'intégrale

/ / [z^ -{- 1 cz — 1 a \^ i -{- p' -j- q-') df(h: ,

rt, c étant deux constantes, qui permettront d'assigner à Taire de la surface courbe et au volume les val<Mirs déterminées qu'ils doivent avoir.

On a

\ =^Z'-\- rf.cz — la \j\ -^ j,^ ->r *7%

V I -f- ir -\- q' s/ 1 H- p- ^- fr '

, ... ''11 • ^fiV do

cl Ja condition sjeneiale de maximum, £> ^ = o.

(levieiil

--ht V • + /''' H- y' V 1 + /^' + q"'

a dx dy '

OU, en développant, et désignant par l\, R' les deux ravons de courbure principaux.

R "^ R' ~~ a " 'relie csl i'équalion de la surface clicn liée. Elle exprime

ÏV. ?.2

338 CÀLCL'L DtS VARIATIONS.

qnen chaque point de la surface la courbure moyenne est en raison inuerse de la distance à un certain plan horizontal dont V équation e5f z -|- c = o.

La surface devant aboutir sur tout son contour au plan ocy^ les valeurs limites de z sont nulles^ si celles de x, y ne sont pas fixées, ou si le contour de la surface dans le plan xy n'est pas assigné à Favance, les équations aux limites se réduisent (n^ 67) à la condition unique