V-P/.-Q7 = o, ou

(jui doit subsister en <'haqu(; point.du conlour, et qui exprime que la surfaces courbe est noriuab; an ])lan :\y le long de leur intcrseclion commune.

PHOBLi:MK XXVI.

17-4. Parmi toutes les surjaccs recouvrant le lucme rolume et ayant les mêmes limites^ trouver celle dont Vaire est minimimi.

Les conditions du pioblènie étant

fjz dy (Ir -- const . , JJ '^^ -^ P^ -h T- <'^r<'/.r = min . .

la question revient à clierclier le mininnnn absobi de Lintégrab*

rr-''

-4- />>'-!- 7^ — ")f(rdr

a. étant un facteur constant, mais inilétcuniiné. Dans les notations adoptées, on a

Al*PLlCATlOWS A DES IIVÏÉGIIALES DOUBLES.. 339

et la forme générale de la surface cherchée sera caractérisée par l'équation indéfinie

Soient toujours R etR' les rayons de courbure principaux, que nous supposerons cette fois positifs lorsqu'ils seront dirigés en bas, c'est-à-dire lorsque la surface tournera sa concavité vers les z négatifs j négatifs, quand la concavité sera diiigée en haut. L'équation indéfinie devient

et eUe exprime que la surfac<^ qui sons la moindre aire possible renferme un volume donné, jouit de cette propriété remarquable d'avoir en chaque point la même cour bine moyenne.

MV). Un mol sur les é(}i!ations aux limites dans les hypothèses les plus simples. Si l'on conviait seulement 1^ projection du ('onlour de la surface sur le plan xy\ ou les surfaces cvlindriqncs ])crpendiculaires au plan xy., entre lescpielles elle reste comprise, on devra avoir en chaque point du confoni*

Qr/.r — V clv =. o, Oil (jclr — jul-) rrz Q,

écpiation (pii exprime (jue la surface cheichée rencontre sous un angle droit tout<\s les fac es du cylindre limite.

Plus généralement, si la surface cherchée doit se terminer sur une surface quelconque df^nl l'équation aux dérivées partielles soit dz = p' dx-\-q' d).^ on devra avoir, le loni; du (contour,

V H P (// — lA !• Q ( <i' — <i ) — o ,

34o CALCUL DES VARIATIONS.

et celle équation exprime la propriété suivante :

Si par le pied de V ordonnée z d'un point quelconque du contour on fait passer un plan parallèle au plan tangent à la surface limite, et que par le même point du coîitour on mène une normale à la surface cherchée, cette normale j prolongée jusqu'à la rencontre du plan parallèle, sera constante et égale à a.

Dans le cas particulier où la surface doit se terminer dans nn plan horizontal, représenlé parTéquation z = h, on a // = o, q' =: o. et la formule précédente se réduit à

^'l-h/r-hq'

d'où Ton conclul facilement que la surface demandée coupe le plan limite sous un angle constant.

r.e <osinns de cet aniile est -: il sera nul lorsque le

plan liori/.onlal se coidondia avec le plan .ry. Donc la surface qui avec un plan donné renferme un certain volun>e sons la plus petitx" aire possible doit être normale au plan en cli.upie point de rinterseclion commune. Une d<,Mnl-spl»ère de ravon convenablement choisi remplira évidemment ( ettc < ondition, en même temps qu'elle satisfera à ] équation indéfinie (i)^ c'est donc une solution du problème, mais il faudrait pouvoir prouver en outre qu<' <• <'sl la seule.

i7(), Coiisid<''i'ons encore le cas où le contour est indétermin<''. ainsi (juc sa projection sur le plan .T) , mais où Ton se donne Taire circonscrite par cette ]>roieclion. Aux

I âl^PLICAïIONS A DES INTÉGRALES DOUBLES. 34 1

couditions premières il faudra joindre les suivantes :

I j djdx=: const..

Cl chercher le maximum absolu de l'intégrale

V ayant la même signification qu'auparavant. Ou obtiendra la même équation générale ou indéfinie (i)-, mais les équations aux limites deviendront

Vh-c = o, qdx ~ Vdj- = o,

pour > =r r,, j rzzjg, et

,.//:=(., Vz=zo,

pour X" r:= Xj, X =:z Xi.

Les deux premières don?ienl

— — — y/ 1 -i- /;^ -h <jr% r^df -~ jjdy

on a d'ailleurs

dz = f)dx -)- pdv'^ donc

d.r dy dz

c;l ])ai' suite ^

ds-

tu bioi

ds' — dz- a-

34^ CALCUL DES VARIATIOAS. #

et, en intégrant,

s' z=: {z— cy — a\ ■

l'arc s étant compté à partir du point pour lequel z z=: a -^ c. Donc si Ton développe le cylindre limite sur un plan, le contour rabattu formera une cliaînelte dont le paramètre sera égal à a. L'équation . '

prouve d'ailleurs que la surface cherchée rencontre les cylindres limites sous un angle droit.

Il parait dilîicilc de tirer rigoureusement des équations indéfinies ou aux limites d'autres cons'jquenccs que celles (|ue nous venons d'énumérer. Mais on voit immédiatement que, dans le cas dont il s'agil, le plan horizontal déterminé j^ar l'équation

satisfait à toutes les conditions aux limites aussi bien qu'à l'équation générale (i), et l'on est ainsi conduit à conclure que la moindre surface qui puisse recouvrir un cylindre de volume et de base donnés, est un plan parallèle à la base. La forme de la base reste encore indéterminée, et elle doit l'être évidemment, puisqu'un changement quelconque apporté à son périmètre, sans altération de son étendue superiicielle, ne changerait en rien ni l'aire de la base supérieure, ni le volume <\\\ cylindre.

Pour le plan en ([ucstion, la couibure moyenne est jiulle, et par conséquent ^ r=co ; mais on peut remarquer que la somme a -^ c tient place d'une nouvelle constante dont la valeur est finie et qui devi a être choisie de manière à assurer au volume circonscrit la v;deur assignée.