QUATORZIÈME LEÇON

Applications à des intégrales triples. — Surface ù aire donnée renfermant le plus grand vol urne. — !\Iinimumderintégraleyy"y\/i-h/;*-f-^*-t-/-^2d[7v/u, Pf <j, r, étant les dérivées partielles d'une fonction indéterminée u.

477. Dans les dctix problèmes suivants, doni le premier est au fond identique avec celui que nous venons de résoudre, nous ferons avec M. Sarrus Tapplication du calcul des variations à la reclierclie des maxima et mfnima des intégrales triples. ^

Problème XXV]I.

Quelle peut être la surface qui y sous une étendue superficielle donnée^ renferme le plus grand volume ? Le volume a pour expression

J-^, -Jy, ^-,

dzdydx.

Il est limité par six faces que nous désignons de la manière suivante :

i** Deux faces planes A, el Aj, correspondantes aux deux limites x^ et Xj do la variable x\

1^ Deux faces cylindiiques Bi et l^o , correspondantes aux deux limites yj et ;)'2 delà variabley;

3^ Deux faces courbes Cl elCo, conespondantcs aux deux limites z^ et z.^, de la variable :::.

Ces diverses faces ont pour expression

dx.

dzdy,

à la condition que/;, <7,r' Indiqueiont les dérivées de s, et deyi , ou celles de z,, et de y, suivant le signe de substitution dont ils seront adectcs, c'est-à-dire suivant qu'il s'agira des faces C, . Bi , ou des faces C2 , Bj .

Comme l'étendue totale de la surface doit rester invariable, tandis qu'on cbcrcbe le maximum du volume, le problème revient à trouver le maximum absolu de l'expression définie

Or-, on trouve, d après les règles données précédemment,

CA,= I {6z-hpSx)dy-h / / (rîr-f-y<î.r)^r..

APPLICATIONS A DES ILTÉGIiALES TRIPLES. 345

-4-/**' r ^ /• ' i - ^^' cTz -+- v/TT"/^M^^ (^.r j dy ,

^z.d)dx