GE ABC

- ADC X -

2ADC

GF 2ABC-I-AÛC' i l'on appelle h la hauteur du trapèze, o

alité précédente peut s'écrire

GE A(ft-i-26j a^lb

On déduit do là une nouvelle manière de déterminer le point G. On porte Bl = DC, DU = AB [fig. m) ; la droite IH rencontre EP au

198 STATIQUK

point G cherché. On a en effet

221. Secteur polygonal rétiulier.— Théorème. — Le centre de gravité de l'aire d'un secteur polygonal régulier est sur le rayon moyen, à une distance du centre égale aux deux tiers de la quatrième proportionnelle entre le périmètre, la corde ei l'apotkème.

Soit OABCD {fig. 67) le secteur polygonal régulier. Décomposons-le en triangles AOB, BOG,... et construisons la ligne brisée A'B'C'D' telle que

Ok' __ OB' OC' __ OD' 2 0A~ÔB"^ÔG~0Û^3'

Les poids des divers triangles AOB,BOC,... qui composent le secteur sont évidemment proportion nelsauxcôtés A'B', B'C',...

et appliqués en leurs milieux. Le point d'application de leur résultante, c'est-à-dire le centre de gravité cherché, coïncide donc avec celui de !a ligne brisée A'B'C'D'.

Fis, lu Soit alors Ox le rayon

moyen et V le milieu d'un côté, A')!' par exemple; en appelant 5 l'abscisse du centre de gravite sur le rayon moyen, on a (209)

CHAPITRK , m 199

L' désignant Je péi'imètre de la ligne brisée A'ii'C'D' ; mais si l'on appelle a l'apothème de la ligne brisée ABCD, L son périmètre et c la corde AD, on a

2 corde A'D' r.

Or ^ - a et = - ■

3 r.' L donc

222. Rejiarquii:. — Ne centre de gravité d'une aire polygonale quelconque s'obtient en la décomposant en triangles.

223. Secteur circulaire. — Théorème. — Le centre de gravité d'un secteur circulaire est sur le rayon moyen, à une distance du centre égale aux deux tiers de ta quatrième proportionnelle entre l'arc, la corde et le rayon.

Soit le secteur circulaire AOB (fiy. 68), de centre et de rayon R; soient Oa: le rayonmoyen, c iacorde AB et L l'arc AB. Pour obtenir le centre de gravité de ce secteur, décomposons-le en secteurs infiniment petits par des rayons OC, OD,,.

Un quelconque de ces secteurs, COD par exemple, peut être assimilé à un triangle, car on peut considérer l'arc CD comme confondu avec sa corde ; son centre de gravité sera donc sur ta une distance du centre

égale aux deux tiers du rayon ; son poids, qui est égal

à sa surface (200), est proportionnel à l'arc CD, ou en-

core proportionnel à l'arc CD' de rayon R'=^-R. Il

suit évidemment de là que le centre de gravité du secteur AOB coïncide avec celui de l'arc A'B' de rayon 11' ; mais celui-ci se trouve sur Ox, et son abscisse ^ est donnée par la formule

, corde A'B'

arc A B

On a donc

22-i. Remakquiî I. — On aurait pu obtenir le centre de gravité du secteur circulaire en le considérant comme la limite d'un secteur polygonal régulier inscrit.

225. Remarque II. — Pour obtenir le centre de gravité d'un segment de cercle AMD [^g. 68), on considère lepolds du secteur circulaire AOB comme la résultante des poids du segment AMB et du triangle AOB ; puis on applique à ces trois forces le théorème des moments par rapport à un plan, ou, ce qui revient au même, les formules (I) du numéro 197.

yGoosle