Pyramide. — Théorème. — Le centre de graoilé d'u
i déterminés par xrêle et le milieu de
l'uréle
opposée.
Soit le tétraèdre ABCD [fig- "-i] ', le plan ABM mené par l'arête AB et parle milieu M de l'arête opposée CD est un plan diamétral pour les cordes parallèles à CD; le centre de gravité du tétraèdre est donc dans ce plan, et par suite à l'intersection G des six plans déterminés par chaque arête et le milieu de l'arête opposée.
231. Remaroues. — 1° Los plans AEG, GDCi passent tous deuxpar le point G et par les milieux M et N des arêtes AB et CD; les trois points M, N, G sont donc en ligne droite. Il en résulte que le centre de graVité du tétraèdre est à l'intersection des lignes qui joignent les milieux des arêtes
2° Le plan ABM passe évidemment par le point a, centre
204 STATlQUiî
de gravité du triangle BCD; comme il passe aussi par le point A, on voit que le centre de gï'aviié d'un tétraèdre est à l'intersection des lignes qui joignent les sommets aux centres de gravité des faces opposées.
232. Corollaire. — Les six plans menés par chaque arête et les milieux des arêtes opposées, les trois droites qui Joignent les milieux des arêtes opposées et les quatre droites joignant les sommets aux centres de gravité des faces opposées, concourent en un même point qui est le centre de cavité du tétraèdre.
233. Tliéocènie. ■ — Le centre de gravité d'un tétraèdre coïncide avec le centre des moyennes distances des quatre sommets.
En effet, le centre des moyennes dislances des quatre sommet? est sur ta droite ka qui joint le point A au centre des moyennes distances de la base BCD ; il est donc sur les quatre droites joignant les sommets aux centres de gravité des faces opposées; par suite, il coïncide avec le point G.
âSi. Rbmakouës. — 1° !1 suit du Itiéorème précédent que l'on a
donc le centre de gravité d'un tétraèdre est sur la ligne qui joint un sommet au centre de gravité de la face opposée et au quart de cette ligne à partir de la base.
2° On peut considérer le point G comme l'intersection de Aa avec le plan P parallèle à celui de la face BCD mené au quart de la hauteur à partir de cette face; il coïncide ainsi avec le centre de gravité de la section de la pyramide par le plan P.
Ce dernier résultat est généralisé dans le théorème suivant.
CHAl'IÏBE IV
233, Théorème. — Le centre de gravité d'une ji
au centre de gravité de In section faite dans la pyramide par un plan parallèle à la base et mené au quart de la hauteur à partir de la base.
Soit la pyramide SABCDE (^g. 72), et soit A,BiC,D,Ei la section faite par le plan parallèle à la base et mené au quart de îa hauteur à partir de cette base. Décomposons cette pyramide en tétraèdres par les pîans Fi g. 72 diagonaux SAC, SAD, etc.;
les centres de gravité g,, g^. etc. de ces tétraèdres coïncident (n» 234) avec ceux des triangles A.BiG,, AiG.D,, etc. D'ailleurs les pyramides ayant même hauteur, leurs poids sont proportionnels aux bases, et par suite aux aires des triangles A,B,C|, AiCiD,,etc.; il suit évidemment de là que le centre de gravité de la pyramide coïncide avec celui du polygone AjBiCiD|E|.
236. Remaboite. — Le centre de gravité d'un polyèdre s'obtient en décomposant le polyèdre en tétraèdres.
237. Côno, — Thcorome. — Le centre degravité d'un cane coïncide avec le centre de la section faite dans le cane par un plan parallèle à la base mené au quart de la hauteur à partir de la base.
En effet, on peut considérer le volume du cône comme la limite du volume d'une pyramide inscrite dont on augmente indéflnimont le nombre des côtés de la base de manière que chaque côté tende vers zéro.
