Tliéoreme, — ie centre àsgraviU de laprojection d'une

centre de gravité de l'aire A.

Supposons d'abord les projections orthogonales, et soit A' {fig. 73) la projection de A surleplan P. Soient, d'autre part, G le centre de gravité de l'aire A, (5' celui de l'aire A'.

Nous allons montrer que ces deux points sont à la même distance d'un plan quelconque Q perpendiculaire au plan P, ce qui prouvera évidem- Fif. 13 ment que le point G' est

la projection du point G ; Pour démontrer que les points G et G' sont à la même distance du plan Q, décomposons l'aire A en éléments infiniment petits dk projetés en rfA'; appelons x la distance de l'élément dk au plan Q, î celle du point G au même plan. En appliquant les formules (1) du numéro 197, on a

A! = S.i;<iAi

CHAPlTRiî V 207

on aurait de même pour A'

(2) A'5' = ia^cfÂ',

i' désignant la distance du point G' au plan Q. Or, soit « l'angle que fait le plan de l'aire A avec le plan P ; on sait que

A' = A cos a, dM = dA. ces s;

l'égalité (2) peut donc s'écrire

A^' r.os a = cosa 'Exdi\, c'est-à-dire, eu vertu de (1),

d'où

Supposons maintenant les projections quelconques ; appelons toujours P le plan de projection, A l'aire projetée et A' l'aire de la projection. Menons un plan quelconque P' perpendiculaire à la direction des projetantes et soient A la projection commune de A et de A' sur le plan P', G, le centre de gravité de A; en vertu de la première partie du raisonnement, les centres de gravité G et G' des aires A et A' sont projetés orthogonalement en G, ; donc la ligne GG' est parallèle à la direction des projetantes, ce qui revient à dire que G' est la projection de G sur le plan P.

239. Corollaire. — Les centres de gramtédes sections planes d'une surface prismatique ou cylindrique sont tous sur mie même parallèle auw arêtes.

Car on peut les considérer comme étant les projections do même point sur des plans différents parallèlement à la direction des arêtes.

240. Théorème. — Le volume d'un cylindre ou d'un prisme tronqvé est égal au produit de la section droite par la distance des centres de gravité des bases.