CHAPITRE V

En appelant C la distance du plan P au point G' ccnLie de gravité de la base inférieure, on a de même

Vol, A,B,A'B'= Ai;', et par suite

V^A,(ï + i;'); de sorte que si l'on appelle Z la dislance TiG', on a linalement

[.e raisonnement serait le même pour le prisme tronqué.

241. Corollaire. — Le volume d'un cijlindre ou d'un prisme tronqué est égal au produit de l'une des bases par la distance à celle-ci du centre de gravité de l'autre.

Menons en effet par le point G' {fig. 74} la perpendiculaire G'H sur le plan de la base supérieure ; l'angle de G'H avec G'G étant égal à l'angle a, on a

G'H = GG' cos a = Z cos -j, et d'autre part

donc

- A cos M G'H.

24^. Théûfème, — L'aire engendrée par une ligne plane exécutant une révolution complète autour d'un axe situé dans son plan et ne la traversant pas, est égale au produit de la longueur de cette ligne par la circonférence que décrit son centre de gravité.

Prenons pour axe des a; l'axe de révolution et pour axe des y une perpendiculaire au premier menée dans le plan de la figure. Soitalors AB [fig. 75) la ligne

yGoosle

210 STATIQUE

quH je suppose décomposée en élémenLs infioimcnt petits tels que CD = rfS ; l'aire infiniment petite engendrée par cet élément peut être assimilée à l'aire latérale d'un tronc de cône, do sorte que si y et î/4-iy sont les ordonnées des points C et D, l'expression de l'aire engendrée est

'2yJ-ày

La partie principale de cet infiniment petit est

Comptons les arcs à partir du point A, positivement dans le sens de A vers B ; l'aire totale engendrée A a pour expression

Azz. t: !"■ ydS;

mais l'intégrale définie / ydS représente le moment de

l'arc AB parallèlement à Oy par rapport à un plan passant par Ox ; si donc L est la longueur de l'arc et Y l'ordonnée de son centre de gravité, on a

fydè^L.Y,

et par suite

243. Remaiiquf. I. — r,a démonstration suppose qu'une ordonnée quelconque ne rencontre l'arc AB qu'en un seul point ; toutefois la proposition s'applique àtous les cas, pourvu bien entendu que l'axe de révolution ne traverse pas la courbe.

Pour le démontrer, considérons une ligne formée de deux