CHAPITRE Y 2H

arcs AMB, ANB (/S'p. 76}, de longueurs respectives L, et Lj; soient y, et y^ les ordonnées de leurs centres de gravité. Ai, A3 les aires engendrées par ces arcs, A l'aire totale; on a, on vertu du numéro précédent,

A, =2-KUy,, A^ = -i-UVi-

D'autre part,

A == A, + A, = 2u(L,y, + L^yj) ; or, si L est la longueur totale des deux arcs AMB, ANB. Y l'ordonnée du centre de gravité de l'ensemble de ces arcs, on a aussi

,-\~L,y^ ^ LY;

on en conclut

244. BEMAiiguE II. — Si, au lieu de fuir complète, la ligne ne tourne que d'un angli drée A a pour expression

révolution lire engen-

243. Théorème. -— Le volume engendré par une aire plane exécutant une révolution complète autour d'un axe situé dans son plan et ne la traversant pas, est égal au produit de cette aire par la circonférence que décrit son centre de gravité.

Soit S(/tg. 77) l'aire plane ; prenons comme axe des ar l'axe de révolution et comme axe des y une perpendiculaire à l'axe des x dans le plan de l'aire. Décomposons celle-ci en rectangles infiniment petits par des parallèles aux axes de coordonnées, et soit ABA'B' l'un quelconque de ces rectangles, de dimensions AB = ia^, l'ordonnée du point A, y[ celle

AA'=iî/. Appelons enfin î/i

212 STATIQUE

du point A' et y celle du point g, centre du rectangle. Le volume engendré par ce rectangle en tournant autour de Ox est la différence des volumes de deux cylindres circulaires droits et a évidemment pour expression

or, iî e?t clair que

de sorte que l'expression de ce volume devient

Si donc V désigne le volume total, on a

or, ^x.^y est l'aire du petit rectangle ABA'B' ; donc Si/ûiEi»/ représente le moment de l'aire totale parallèlement à Oy par rapport à un plan passant par Ox ; par conséquent, si Y est l'ordonnée du centre de gravité de l'aire, on a

'ily\xAy = Y. S, et par suite

246. Remarque 1. — Si la figure tourne seulement de l'angle a, on a

^ = ^*^ sio-

247, Remarque U. — Les deux théorèmes précédents portent le nom de théorèmes de Guldin ; ils sont exprimés par les deux formules

(1) A = 2TrY.L,

(2) Vi=2^Y.S,

qui permettent de calculer A ou V quand on connaît le centre de gravité, L ou S.

Inversement, si l'on connaît A ou V ainsi que L ou S, on peut en déduire Y, c'est-à-dire une ordonnée du centre de gravité, ce qui suffit dans certains cas pour déterminer ce point. Nous allons appliquer à, quelques exemples.