CHAPITRE V

248. Application I. — Surlaco et volume du tore de révolution. — On sait que l'on appelle tore de révolution le volume engendré par un cercle tournant autour d'un axe situé dans son plan.

Soit 0' !fig. 78) le cercle de

rayon R et rf la distance do

son centre à l'axe. Le centre

—— ^ ~~ de gravité soit de la circonfé-

^'^ ' rence, soit du cercle étant le

point 0, en appelant S la

surface et V le volume du tore, on a, en vertu des théorèmes

doGuldin,

: 2-rtR.2i:rf = A-!:''l\.d,

249. Application II. — Centre de giavilé d'un are de cercle. ~ Soit l'ai'c AMB {/ig. 79) de contre et de rayon R. Son centre de gravité G est situé sur l'axe moyen Ox ; soit X l'abscisse de ce centre de gravité, et soient enfln L et- c les longueurs respectives de l'arc et de la corde. En tournant autour de l'axe Oy perpendiculaire à Oa;, l'arc AMB engendre une zone de hauteur c et dont l'aire a pour expres-

Fig. 79 sion

2i:Rc;

le premier théorème de Guldin donne donc

2ti:Rc = SiiajL,

d'où

250. Application III. ~ Centre de gravité du secteur circulaire, — Soit le secteur OAMB [fig. 79) ; désignons maintenant par X l'abscisse du centre de gravité du secteur silué sur le rayon moyen, comme dans l'applicalion précédente, et gardons pour !e reste les mêmes notations que dans le numéro précédent, puis faisons tourner le secteur autour de Oy ; il engendre alors un secteur sphérique dont le volume a pour expression

Le deuxième théorème de Quldin donne alors

nous retrouvons ainsi les résultats déjà obtenus numéros 210 et 223

231. Travail de la pesanteur sur un système de points matériels. — LeCravailde la pesanteur sur un système de points matériels qui subit un déplacement est égal au travail du poids total supposé appliqué au centre de gravité du système.

Considérons en effet un système de n points matériels A,, Aj,... An, de poids respectifs p,, p^,... p„. Appelons s,, Zi,... Za les cotes positives ou négatives de ces points par rapport à un même plan horizontal H, dans la position initiale du système; appelons de même Z,, Zj,... Z,i leurs cotes, par rapport au même plan H, dans une seconde position du système.