SUR DEUX THÉORÈMES DE GÉOMÉTRIK ÉLÉMENTAIRE

Théorème 1. — iSi une figure plane aundiamblre, des portions de surfaces correspondantes sont èqriivalentes.

Soit D {fig. 80) le diamètre; je dis que les deux triangles correspondants ABC, A'B'C sont équivalents. En effet, les cordes AA', BR', ce sont parallèles et coupées par D en leurs milieux

a, b, c. Uès lore deux trapèzes correspondants quekouques abAQ, a6A'B', par exemple, sont équivalents parce qu'ils ont même liauteuretdesbasesrespectivementégales, «A = ak' et 6B = l/ii'. 11 en résulte que la somme algébrique

Surf. n6AB + Surf. 6cBC — Surf, ocAC est égale a la somme algébrique

Surf. «6A'B' + Surf. bcB'G — Surf. acA'C.

Mais la preiiiière somme représente la surfaci; du triangle ABC, tandis que la deuxième représente celle du triangle A'B'C; on en conclut

Surf. ABC = Surf. A'B'C.

Deux triangles correspondants étant équivalents, deux polygones correspondants, décomposables en triangles équivalents, le sont aussi, et par des considérations de limites on étendrait le théorème au cas d'aires planes cpielconques.

Théorème 11. — Si tine figure a un plan diamétral, deux volumes correspondants sont équivalents.

Par un raisonnement analogue au précédent, on voit qu'il suffit de démontrer le théorème pour deux tétraèdres correspondants. Soient donc P (/îj. 81) le plan diamétral, ABCD, A'B'C'iy deux tétraèdres correspondants, c'est-à-dire tels que Les droites AA',

BB', ce, DD' sont parallèles et coupées par le plan P en leurs milieux a, b, 0, d. Considérons deux troncs de prismes correspondants quelconques abcABC, «ÈcA'B'C, par exemple.

On sait qu'ils sont équivalents chacun à la somme de trois pyramides ; or, deux pyramides correspondantes abcA, abcA', par exemple, ont même base et des hauteurs égales ; donc elles sont équivalentes, et par suite deux troncs de prismes correspondants sont équivalents. Bornons-nous au cas de figure où le point d tombe à l'intérieur du triangle abc et où les points D et D' sont