CHAPITRE PREMIER

déterminer toutes les circonstances du mouvement. Cette courbe porte le nom de courbe de.s espaces parce que son ordonnée mesurée à l'échelle des longueurs fait connaître à chaque instant l'espace parcouru par le mobile sur sa trajectoire. Par exemple, si le mouvement est uniforme, la courbe des espaces est une ligne droite ; c'est une parabole, dans le cas d'un mouvement uniformément varié, etc.

On voit, d'après cela, ce qu'il faut entendre par courbe des vitesses ou des accélérations, et comment on pourrait construire ces courbes.

46. Proposons-nous de déterminer, au moyen do la courbe des espaces, la grandeur de la vitesse à un instant donné (. Soient A et A' deux points de cette courbe correspondant aux abscisses (et i + \t ; menons les ordonnées AB, A'B' de ces deux points, la corde AA' et la parallèle AB à l'axe des temps ; supposons enfin, pour fixer les idées, que les ordonnées des points A et A' soient positives ainsi que la valeur de M cL que, de plus, A'B' > AR ; on aura alors

iS = A'Ii,, ûf = AB,, et l'expression de la vitesse moyenne dans l'intervalle de temps M sera donnée par le rapport A'n, AB,' dans lequel le numérateur est mesuré à l'cchcile des longueurs, et ie dénominateur à l'échelle des temps, de telle sorte que ce rapport représente en réalité, non le rapport de deux lignes, mais le rapport de deux nombres. Portons Ap égale à l'unité de temps et soit a' le point de rencontre de AA' avec la parallèle à OS menée par p; les deux triangles semblables AB,A', Api' donnent A'B, i^î' ÂÏÏ7 ~ A^ '

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et comme A^ est égale à l'unité, on voit que la vitesse moyenne est représentéû par la longueur pï' mesurée à l'échelle des longueurs.

Cela posé, si l'on appelle a le point de rencontre de la tangente en A à la courbe des espaces avec l'ordonnée du point p, lorsque A( tend vers zéro, pi' a pour limite ^a, de sorte que cette ligne mesurée à récholle des longueurs représente la grandeur de la vitesse au temps t. On peut voir du reste sans aucune difiiculté que, en toute hypothèse, la vitesse au temps t est la valeur algébrique du vecteur ^ï mesuré à l'échelle des longueurs. Si, en particulier, l'éclielle des longueurs est la même que ceile des temps, la vitesse est égale au cocfflcicnt angulaire de la tangente en A à la courbe des espaces.

47. Quoi qu'il en soit, si l'on suppose tracée la courbe des espaces, on peut obtenir à chaque instant la vitesse, et par suite en déduire la courbe des vitesses ; on peut même supposer les deux courbes rapportées aux mêmes axes, et alors, à tout point A de la coui-be des espaces, correspond un point A, de la courbe des vitesses situé sur la même parallèle à OS, qui serait, dans ce cas, aussi bien l'axe des espaces que l'axe des vitesses ; l'ordonnée du point Ai serait la valeur algébrique du vecteur p^ mesuré comme cela a déjà été dit.

48. Par un procédé identique, on peut passer de la courbe des vitesses à celle des accélérations en prenant encore OS

des accélérations.

49. Nous laisserons au lecteur le soin de vérifier : l" que les points de reucontre de la courbe des vitesses avec l'axe des temps sont les projections, sur cet axe, des points de la courbe des espaces en lesquels la tangente est parallèle à Ot ; 2° que les points de rencontre de la courbe des accéle-

rations, avec le même axe, sont les projections sur cet axesoit des points de la courbe des vitesses en lesquels la tangente est parallèle à Ol, soit des points d'inflexion de la courbe des espaces.

50. Nous remarquerons enûn qu'il ne saurait y avoir, au point de vue de la forme, aucune relation entre la courbe des espaces et la trajectoire du mobile.

51. Après avoir montré comment on peut déduire la courbe des vitesses, et par suite celle des accélérations, de la courbe des espaces, nous allons montrer comment on peut résoudre les problèmes inverses : Étant donnée la courbe des vitesses, construire la courbe des espaces ; ou étant donnée la courbe des accélérations, construire celle des vitesses et celle des espaces.

Pour abréger, nous nous bornerons au premier problème. Soit donc

la formule des vitesses et soit (V) (fig. 13) la courbe qu'elle représente. Proposons-nous de chercher l'espace parcouru par le mobile depuis le temps („ correspondant à l'ordonnée A^B^ jusqu'au temps t correspondant à l'ordonnée AB ; pour cela, partageons l'intervalle ( — („ en intervalles inliniment petits dt et soit QQ' l'un quelconque de ces intervalles. Menons les ordonnées PQ, P'Q' qui du mobile au comon peut supposer

représentent les vitesses v

à la un de l'intervalle

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de assez petit pour que, dans l'intervalle, la vitesse varie toujours dans le même sens, de sorte que l'espace parcouru par le mobile pendant cet intervalle de temps dt sera compris entre vdt et v'dt. Or, si l'on construit le rectangle inscrit PQPj'Q' et le rectangle circonscrit PiQP'Q', on peut regarder l'expression vdt comme représentant l'aire du premier de ces rectangles, et v'dt comme représentant l'aire du second ; on sait, d'ailleurs, que la différence entre les aires des deux rectangles est infiniment petite du second ordre. Il en résulte que l'espace total parcouru par le mobile peut être considéré soit comme la limite de la somme des aires des rectangles inscrits, soit comme la limite de la somme des aires des rectangles circonscrits; sa détermination se trouve ainsi ramenée à celle de l'aire comprise entre la courbe des vitesses, l'axe des temps et ies deux ordonnées A^B^, AB, ce qui n'est autre chose, comme '"'■"' l'on sait, que l'évaluation de

l'intégrale définie, prise entre les limites ta et (, de la différentielle <f(i)dt. Observons, du reste, que l'on devra considérer comme positives les aires qui sont soit à droite de l'ordonnée initiale AoB, et au-dessus de l'axe 0(, soit à gaucbc de AoB^ et au-dessous de Oi ; comme négatives les autres. Dans Is. fy- 14, on a ombré les e tives.

s qui doivent être considérées