Emploi des coordonnées rectliigiics pour l'élude du

mouvement d'un point. — La position d'un point M dans

l'espace est parfaitement définie par ses coordonnées x, y, z

relativementàtroisaxes

quelconques Ox,O)/,0e

(^51.23). Si le point est

en mouvement, x, y, z

sont des fonctions du

temps qui résultent de

la loi du mouvement.

Inversement, si l'on a

X I les équations

( ^ = fW,

^'s- S3 à'Aiis lesquelles /((),

?{'}' '¥j-) sontdesfonctions connues du temps (, à chaque valeur de ( correspond une position du point mobile; on peut donc considérer les équations (1) comme définissant complètement le mouvement; elles définissent aussi la trajectoire et permettent de fixer à chaque instant la position du point sur cette trajectoire. Pour cette raison, on les appelle les éijuafio/istiw mouvement et l'on appelle en général équation du mouvement

44 CINÉMATIQUE

d'un point, toute équation ou tout système d'équations définissant la trajectoire et les divers éléments du mouvement : vitesse, accélération, etc. ; nous verrons que les équations (1} remplissent bien ces conditions.

<;8. Chacune de cos équations prises individuellement définit d'ailleurs la projection du mobile sur l'un des axes des coordonnées ; par exemple 37 = f{t) définit la projection sur Ox, et cette projection peut être considérée à son tour comme un nouveau mobile lié au premier, de sorte que le mouvement de celui-ci résulte en quelque sorte des mouvements combinés de trois auti'es mobiles.

Les mouvements de ceux-ci étant rectilignes, on conçoit qu'il puisse y avoir avantage à les étudier d'abord.

69. Si, au lieu de considérer une seule des équations (1), onenprenaitdeux, x ^ f{l) et y = o('), par exemple, on définirait la projection du point M sur l'un des plans des coordonnées, le plan des xy dans le cas actuel ; le mouvement du point M dans l'espace peut être considéré alors comme résultant des mouvements combinés de sa projection sur le plan des xy et de sa projection sur l'axe des z. Il peutdonc y avoir avantage, d'après cela, à étudier aussi le mouvement de la projection du mobile sur un plan.

Le passage du mouvement dans l'espace au mouvement projeté, ou inversement, s'opère du reste au moyen de deux propositions que nous allons établir.

70. Théorème I. — Lorsqu'on projette un mobile sur un plan ou sur un axe, la vitesse du mobile projection est la projection de la vitesse du mobile dans l'espace.

1° Projection sur un plan. — Soient P (fig. 24) le plan de projection, (G) la trajectoire et (C) sa projection. Soient A et B les positions du mobile sur sa trajectoire aux instants

CFIAPU'RR III

l et (+ -i;, A' et B' leurs projecLions. Si nous appelons M le mobile dans l'espace. M' le mobile projection, v la

vitesse du premier à l'iiistant ( et v' la vitesse do second au même instant, v et u' désignant des vecteurs, on a, pour a; = 0,

. vecteur -