CHAPITRE IV j'J
83. CorollîUre I. — La vkassa relative csl la somma géométrique de la vitesse absolue et de la m/esse d'entraînément prise en sens contraire.
Car, si OA, 0B> OC {/Ig.
3t) sont respectivement îa vitesse d'entraînement, la vitesse relative et la vitesse O absolue du point M à l'ins-
'°'' ' tant t, dans ie parallélo-
gramme OACB le vecteur AC, qui représente la vitesse relative, est la somme géométrique des deux vecteurs AO et OC, dontle premier représente la vitesse d'entrainement prise en sens contraire.
8i- Corollaire II. — La vitesse d'entrainement est la somme géométrigue de la vitesse absolue et de la vitesse relative prise en sens contraire.
Même raisonnement que pour le corollaire I.
80. Remarqoe 1. — L'opération qui a pour but de déLei'miner la vitesse absolue connaissant la vitesse relative et la vitesse d'entraînement porte le nom de composition de ces deux vitesses. On voit par là ce qu'il faut entendre plus généralement par composition de plusieurs vitesses.
86. Remarque 11. — Il résulte du théorème précédent que la règle de composition de deux vitesses est la même que celle de la composition de deux vecteurs; dès lors elle s'étend naturellement d'elle-même à un nombre quelconque de vitesses.
D'après cela, appelons JI un point mobile dans un système S,, mobile lui-même dans un système S^, et ainsi de
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suite jusqu'à un système Sn mobile dans l'espace. A l'instant t le point M coïncide avec le point jj., du système S, ; 11] coÏDcide avec un point \i.^ du système S^, et ainsi de suite jusqu'à un point [a,, du système S„; soient ;
V la vitesse du point M par rapport à un observateur entraîné avec Si ;
Uj la vitesse du point |ii par rapport à un observateur entraîné avec Sj, etc.;
Et enfin Vn la vitesse du point \i.n par rapport à un observateur fixe dans l'espace .
Si l'on appelle V la vitesse du point M par rapport à ce même observateur, le vecteur V est la somme géométrique des vecteurs v, vi, Vi,... v»; V est la vitesserésultante; t>, vi,... Un les vitesses composantes, el l'on volt ainsi comment il faut comprendre la proposition suivante :
La vitesse résultante de plusieurs mouvements est la somme géométrique des vitesses de tous les mouvements.
En particulier, si le motiile participe à deux mouvements, la vitesse résultante est la diagonale du parallélogramme construit sur les vitesses composantes ; c'est la diagonale du parallélépipèdo construit sur les vitesses composantes dans le cas de trois mouvements ; elle est enfin égale à la somme algébrique des vitesses composantes quand colles-ci sont parallèles.
87. Eemaeqce III. — La décomposition des vitesses suit les mêmes lois que la décomposition des vecteurs.
Nous renvoyons d'ailleurs le lecteur au chapitre sur les vecteurs pour tout ce qui a traitsoît àla composition, soit à la décomposition des vitesses.
88. Application, Tangente à la cycloïde. — La cycloïde est la courbe engendrée par un point d'un cercle qui roule sans glisser sur une droite fixe x'x (/ig. 32). Cette définition équi-
CltAPITRË IV CA
La cycloïde est la trajectoire d'mi point qui se déplace sur un cercle d'un mouvement uniforme avec une vitesse v, pendant que fous les points du cercle se déplacent parallèlement à une droite fixe x'x, d'un mouvement uniforme et avec la mÉme vitesse v.
i''s- ^i D'après cela, soient,
à un instant donné, la position du cercle et M la position correspondante du mobile. Indiquons par des flèches le sens du mouvement d'entraînement et le sens du mouvement relatif, et soient à l'instant considéré ME et MR la vitesse d'entraînement et la vitesse relative. On a, par hypothèse, ME = MR ; il en résulte que la vitesse absolue est la bissectrice de l'angle EMR. Cette bissectrice passe d'ailleurs par le point A' diamétralement opposé au point A où le cercle touche la droite x'x; donc :
La tangente en M à la cycloïde s'obtient en joignant le ■point M au point A' diamétralement opposé au point de contact du cercle et de la droite.
89. Rbuabque. — On voit par cet exemple comment, à l'aide des mouvements relatifs, on peut étendre la méthode de Roberval pour le tracé des tangentes à des cas auxquels, au premier abord, elle semble ne pas pouvoir s'appliquer simplement.
90. Composition des accéicvations. — La loi dc la composition des accélérations est la même que celle de la composition des vitesses, quand le mouvement d'entraînement est
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un mouvement de translation ; elle est plus compliquée dans le cas général où le mouvement d'entraînement est quelconque. Ce dernier cas exige d'ailleurs des développements qui sortiraient du cadre de cet ouvrage : aussi nous bornerons-nous à examiner le cas où le mouvement d'entraînement est un mouvement de translation.
Oi.DéHnilion. — On ditqo'un système invariable est animé d'un mouvement de translation lorsqu'on peut l'amener d'une position à une autre en faisant décrire à tous ses points, pendant le même temps, des segments de droites égaux et parallèles.
Un mouvement de translation peut être rectiligne ou curviligne selon que les divers points du corps décrivent des droites ou des courbes; seulement, dans le second cas le mouvement peut être considéré comme une suite ininterrompue de mouvements de translation infiniment petits et dont les directions changent d'un instant à l'instant sui-
'J2. Remahoub. — Il suit en particulier de la définition précédente que si le mouvement d'un système invariable est un mouvement de translation, toute droite liée invariablement au système se déplace parallèlement à ellemCme.
93. Théorème. — Quand le mouvement d'enlrainemerU est un mouvement de translation, l'accélération absolue est la somme géométrique de l'accélération relative et de l'accéléralion d'entraînement .
Soient, en effet, (p xyz) et (O.XYZ) (/î^.33)deus trièdres trirectangles fixes, le premier dans l'espace et le second dans le système. Comme le mouvement d'entraînement est un mouvement de translation, les arêtes du trièdre (O.XYZ) conservent des directions invariables dans l'espace, et par
suite il est permis de supposer les deux Irièdres parallèles et de môme sens. Appelons alors : 5, *;, K les coordon- '' ]y nées du point par rap-
port au premier ; X, Y, Z
/ les coordonnées du point
/O ^ mobile rapporté au second ;
/, et eniin x. y, s les coor-
_______.^ données du mCme point
rapporté au trièdre fixe {o.œijz). On a
Fi,. .3 (1) y = r, ^Y,
' ; = i: + z, n déduiL par différentiation
1 ri^y rf^l t/^Y 1 c/i^ rfi^ dt' ' tlH d% d'7,
Dans ces équations, -r-' -vt' -tt représentent les com- ^ dl^ di^ dt'
posantes de l'accélération du point suivant les axes lixes
Qx, 0>j, Oï, c'est-à-dire les composantes, suivant ces mêmes
axes, de l'accélération d'entraînement.
d^X dn d^Z . , , Dautrepart, -r^> — -r> -rrfepi'esententlcsconiposanLes, ^ dt^ di' di' ^
suivant les axes mobiles OX, OY, OZ, de l'accélération du point M par rapport à un observateur entraîné avec le système; c'est-à-dire les composantes, suivant les mêmes axes, dLQV accélération relative. D'ailleurs les deux systèmes d'axes
étant parallèles, -r— • -rr-i —rr sont aussi les composantes
^ ' df dl^ dt' "^
6i CINEMATIQUE
de l'accélération relative suivant les axes fixes; #(/ d^z 'di^' 1? ^
suivant les mêmes axes. Les équations (2) expriment alors que la projection de l'accélération absolue sur l'un quelconque des axes Ox, Oy, Oz est la somme algébrique des projections de l'accélération relative et de l'accélération d'entraînement ; de là résulte évidemment la proposition.
94, Rëuarq-oe I. — La composition des accélérations dans le cas de plusieurs mouvements de translation se fait d'après les mêmes règles que la composition des vitesses ; le ■ent est absolument le même.
95. Remarque II. — Si dans les équations (l] on regarde X, Y, Z comme des constantes, elles donnent les coordonnées absolues d'un point du système mobile, c'est-à-dire les coordonnées d'un point du système mobile rapporté aux axes fixes. On en déduit par dilïérentiation (Jx Ji
Ut ~ dt'
dt^ ~ d?
et des formules analogues au moyen de y et do i. On conclut de là que si un système invariable est animé d'un mouvement de translation, tous les points du système ont à chaque instant la même vitesse et la même accélération que le point 0.
