CHAPITRE V

équations (9), que le moovcmfiiit est périodique et que l'amplitude de la période est — .

lOU. Application de la considération de l'aecélépation à. la déteinninalion des rayons de courbure. — Dans la représentation de l'accélération par un vecteur, nous avons vu que la composante normale de l'accélération, quand le mobile occupe une position M sur sa trajectoire, s'exprime en fonction de la vitesse et du rayon de courbure en M par la formule

Il suit de là, que si l'on connaît la vitesse et l'accélération du mobile à un instant donné, quand le mobile traverse un point quelconque M de sa trajectoire, on obtient le rayon de courbure de cette courbe en M en divisant le carré de la vitesse par la composante normale de l'accélération.

101. Exemple I. — Rayon de courbure de la cycloïde. — Le mouvement d'un point sur une cycloïde peut être considéré (108) comme résultant :

1° D'un mouvement de translation uniforme commun à tous les points du cercle générateur :

2" D'un mouvement uniforme sur te cercle générateur, avec une vitesse égale à celle du mouvement de translation. Soient alors (/iy. 37) le cercle générateur k un instant donné et M la position du point décrivant ; en appelant A le point de contact du cercle avec la droite œ'x sur laquelle il roule et A' le point diamétralement opposé au point A, MA' est la tangente en M à la cycloïde et MA estlanor-

74 CINKJJATIQUE

maie au même point. Nous appellerons R le rayon du cercle et nous poserons

MA = i

Cela posé, puisque la vitesse de translation est constante, l'accélération du point M est due uniquement au mouvement de rotation sur le cercle ; si donc m est la vitesse angulaire de ce mouvement, comme sa vitesse est «jR, l'accélération est ~~:^ o)^R et estdirigéesuivantle rayonMO. Sa projection sur la normale est donc (u^X proj. U, c'està-dire

"2" ' d'autre part, si MC et MB sont les deux vitesses composantes, égales d'ailleurs à iùEI, dans le triangle isocèle MGD on a

xMI = MG cos CMA'

Ml = <oR cos MÂÀ^ = "J 5 ' d'où l'on tire

Or, 2MI est la vitesse absolue du point M, et si l'on appelle p le rayon de courbure de la cycloïde en ce point, l'expression de l'accélération normale est aussi

En comparant avec la première expression trouvée, on obtient

et finalement

p = 2/ = 2MA.

Ainsi, le rayon de courbure de la cycloïde est le double de la normale limitée au point de contact du cercle et de la droite x'x.