MOUVEMENT DES PROJECTILES BANS LE VIDE
121. Nous allons, avant d'aller plus loin, appliquer les résultats obtenus dans le chapitre précédent à l'élude du mouvement des projectiles dans le vide. Un projectile est un corps soumis à l'acLion delà pesanteur et lancé dans une certaine direction avec une vitesse initiale donnée. Nous supposerons le corps réduit à un point matériel et nous négligerons la résistance de l'air; de sorte que la question se ramène à i'étude du mouvement d'un point matériel soumis à l'action d'une force constante en grandeur et en direction, et auquel on a imprimé une vitesse initiale donnée. Nous appellerons g l'accélération imprimée par la pesanteur à ce point matériel partant du repos et nous diviserons le problème en plusieurs autres.
122. Pi-oblème I. — Etudier le mouvement d'un point matériel pesant abandonné à lui-même sans vitesse initiale à une certaine hauteur au-dessus du sol.
Appelons X le chemin parcouru par le mobile pendant le temps ( ot compté à partir du point de départ. Le point étant soumis à une force constante, son mouvement est uniformément accéléré ; si donc g est l'accélération dirigée dans le même sens que la force, c'est-à-dire de haut en bas, on a, en vertu des formules qui ont été établies en cinématique,
(!) - = |jr-,
ol par suitfi
(2) v=cjl.
La première de ces deux formules donne l'espace parcouru pendant le temps (, et la deuxième donne la vitesse au bout du même temps. Si on élimine t entre les deux, on obtient
v' = 2gx, formule qui fait connaître l:i vitesse en fonction de l'espace parcouru.
123. Applicatjon. — Vn point matériel pesant est abandonné à lui-même sans vitesse initiale sur la verticale xx' (fig. 42). Il occupe une position donnée kkun instant inconnu et parcourt un chemin donné h pendant le temps 6, à partir de cet instant; trouver sa position initiale.
Soit la position initiale du mobile. Posons OA = x et appelons ( le temps employé à parcourir ce chemin ; on a en vertu de l'équation (t) 1 ,
D'autre part, à la suite du chemin x et pendant le temps 0, le mobile parcourt le chemin k, c'est-à-dire, qu'il parcourt le chemin x-hli pendant le temps ;-i-0; la même formule donne donc encore
Ces deus équations font connaître t et a;.
On en tire d'abord par soustraction
2gO et ensuilc
(2ft — gOY
yGoosle
CHAPIÏRK II 93
Pour quû le problùme soîlpossiblû il faut que t soit positif, ce qui exige que l'on ait '* !> -^■
124. Problème II. — Étudier le mouvement d'un point matériel pesant lancé verticalement de haut en bas avec une vitesse initiale v^.
Le mouvement du mobile est encore un mouvement uniformément accéléré et peut être considéré comme résultant do deux autres s'effectuant de haut en bas suivant la verticale :
i" Un mouvement uniforme avec la vitesse v^ et en vertu duquel l'espace parcouru au bout iJu temps t est vj;
2° Un mouvement uniformément accéléré qui est le même que si le point partait du repos, dont l'accélération est g, et dont par suite le chemin parcouru pendant le temps (
est - gl^ . Le chemin parcouru pendant le mfime temps dans
le mouvement résultant sera donc
(3) i = v + lsP; on tire de là la formule
(4) » = v,^gt pour calculer la vitesse.
125. Rbmakque. — On aurait pu écrire les deux formules (3) et (4) immédiatement, puisqu'on sait que le mouvement est uniformément accéléré, que la vitesse initiale est îJ„ et l'accélération g.
120. Problème III. — Etudier le mouvement d'un point matériel pesant lancé verticalement de bas en haut avec une vitesse initiale Vo.
Prenons comme direction positive sur la verticale Ox
la direction contraire à celle de la pesanteur et soit le point de départ du mobile. On peut encore considérer le mouvemeiit comme résultant de deux autres :
i" Un mouvement uniforme solvant Ox avec la vitesse initiale Uo ; 2° un mouvement uniformément varié suivant Ox' avec l'accélération g que la pesanteur imprime au point matériel partant du repos. En vertu du premier mouvement l'abscisse du mobile par rapport au point est Vot, au bout du temps ( écoulé à partir de rinstant où le point a été lancé ; en vertu du second l'abscisse au bout du même temps est
— â?' puisque lemouvement s'effectue dans le
sens des abscisses négatives. L'abscisse du point ri? -is dans le mouvement résultant sera donc
on en déduit la formule des vitesses
et l'élimination de ( entre les deux équations donne
(7) V' = vl-29x:
cette nouvelle formule donne l'expression de la vitesse en fonction de l'abscisse.
Voici quelles sont les propriétés du mouvement déduites des équations (5), (6) et (7) :
1" D'après l'équation (6) la vitesse diminue lorsque ( augmente; elle devient nulle pour t = —, de sorte que si
l'on fait croître t dezéroà — la vitesse décroît de v. àzsro.
En se reportant à FéquatioD (5) ou voit que pendant le même temps l'espace parcouru x est positif et croit, parce
