CHAPITRE JI

mouvement uniformément varié suivant la verticale s'efl'ectuant en sens contraire des ordonnées positives et par suite avec l'accélération — g.

En vertu du premier mouvement, l'espace parcouru par le mobile sur OA serait, au bout du temps t,

en vertu du second, l'espace parcouru suivant la verticale serait, au bout du même temps,

Puisque le mouvement résulte de la composition de ces deux mouvements, la position du mobile au temps ( sera définie par les équations simultanées (1) et (2). Ces équations donnent en réalité les coordonnées du mobile rapporté aux axes OA et Oy ; il en résulte que ses coordonnées par rapport aux axes Oa^ et dy sont

[ X = fgf COS Cl,

Ces équations définissent la trajectoire et donnent toutes les circonstances du mouvement.

Equation et forme de la trajectoire. — Cherchons d'abord l'équation et la nature de la trajectoire. L'équation s'obtient en éliminant t entre les équations (3), ce qui donne

a) y ^xlgii — ■ ^^ - „ ■ ;

d'où il suit que la trajectoire est une parabole dont l'axe est vertical et dirigé vers le bas, puisque le coefficient de cc^ est négatif.

Vitesse en vn point. — Étudions maintenant la loi des vitesses. Les composantes de la vitesse à. un instant donné / sont, en vertu des équations (3),

(5) Vx ^^ "a COS a,

(6) v, = v,sma-gt,

yGoosle

Uk et v,j désignant les composantes respectives suivant Ox et Oy. Il résulte de ces équations que la vitesse horizontale est constante et que la vitesse verticale diminue quand le temps augmente. CetLe dernière composante est nulle

lorsque t — — — ) et alors la vitesse se réduit à sa

composante horizontale, c'est-à-dire que la tangente à la trajectoire est horizontale. La position correspondante du

mobile s'obtient en remplaçant t par -^- ■ dans les

équations (3), ce qui donne

Ces équations définissent évidemment le sommet B de la parabole décrite par le point matériel ; eiles montrent en particulier que l'élévation y du sommet au-dessus du plan horizontal est égale à la hauteur qu'atteint un mobile lancé verticalement suivant Oy avec la vitesse initiale v„ sin a (126).

Revenant maintenant aux équations (5) et (6), on voit que Vy prend des valeurs égales et de signes contraires pour les

valeurs de t équidistantes de -^- ■; comme la composante horizontale de la vitesse est constante, aux points correspondants delà trajectoire les tangentes sont également inclinées sur l'axe des ar. Ces points sont symétriques par rapport à l'axe de la parabole; car, en vertu de la deuxième équation (3), y prend des valeurs égales quand on donne

à t des valeurs équidistantes de ~

linfin le carré de la valeur numérique de la vitesse s'obtient en faisant la somme des carrés des équations (S) et (6),

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ce qui donne

c'est-à-dire, en comparant avec la valeur de y fournie pai' les équations (3),

v' = vl ■-%»/.

Il en résulte que la vitesse est minimum lorsque y est maximum, c'est-à-dire quand le point est au sommet de la parabole ; la valeur minimum d'ailleurs déjà obtenue est "o cos a. Ainsi, quand le mobile se déplace depuis le point jusqu'au sommet B, la vitesse décroît depuis v,, jusqu'à Va cos a ; elle croit ensuite et croîtrait indéfiniment si !e mobile n'était pas arrêté par le sol.

Amplitude du jet. — On appelle ainsi l'abscisse du point

où ie projectile frappe le sol ; on l'obtient en faisant y = dans l'équation lie la parabole, ce qui donne

__ v^ sin 23 ^ 9 On voit, ce qui était du reste évident a priori, qu'elle est double de l'abscisse du sommet. Quand le mobile arrive en G, sa vitesse est égale à la vitesse initiale o^ .

L'amplitude du jet est proportionnelle au carré de la vitesse et dépend en outre de l'angle s. Pour une même vitesse initiale elle est maximum lorsque sin 2a = 1,

c'est-à-dire lorsque m — 45"; elle est alors égale à — ■

Enfin, elle reste évidemment la même quand on donne à

1 des valeurs complémentaires.

Direction suivant laquelle il faut lancer le projectile pour atteindre un point donné. — Soient « et ô les coordonnées du point donné ; elles doivent vérifier l'équation (4), et par suite les valeurs de a qui définissent la direction clierchéo sont fournies par l'équation

qu'on ramène immédiatement à l'équation du second degré en tg a

(8) ga' tg^ =-2at.* tg a +ga^^-%vl -^0.

Parabole de sûreté. — Pour que les racines de cette équation soient réelles, il faut que la condition

soit remplie; or, si l'on y regarde a ot b comme des coordonnées courantes, le premier membre de cette inégalité égalé à zéro représente une parabole dont le sommet situé

l'origine et dont par suite le paramètre est — ■ L'inégalité signifie alors que le point donné doit être situé à l'intérieur de la parabole représentée par l'équation

Cette parabole est appelée parabole de sûreté.

Eiie est évidemment l'enveloppe des trajectoires quand on fait varier l'angle a, en laissant la vitesse initiale constante, et quand le point est sur la parabole de sûreté l'équation (8) a ses racines égales, de sorte qu'il y a une seule trajectoire passant par le point donné [a . b). Il y en a deux quand ce point est à l'intérieur de la parabole de sûreté, et il n'y en a aucune dans le cas contraire.

Lorsque le point est à l'intérieur de la parabole de sûreté, chacune des deux trajectoires qui passent par ce point peut le rencontrer soit en montant soit en descendant. Pour distinguer ces deux cas l'un de l'autre, il suffit de comparer l'abscisse a du point donné à celle du sommet de la trajectoire, qui est donnée par la première équation (7).

Soit a' l'abscisse du sommet ; si l'on a a' <^a, la rencontre a lieu en descendant; dans le cas contraire, la rencontre a lieu en montant.