PBOPORTIONHALITÉ DES FORCES ET DES ACCÉLÉRATIONS ; MASSE
128. Théorème. — Le rapport de deux forces constantes est égal ail rapport des accélérations qu'elles produisent séparément sur un même point matériel partant du repos ou animé d'une vitesse initiale dans la direction de la force.
Soient en effet P et F' deux forces constantes, y et 7' les accélérations des mouvements rectilignes et uniformément variés qu'elles communiquent séparément à un même point matériel partant du repos. Supposons d'abord que les deux forces aient une commune mesure f et soit
de sorte que
La force / agissant seule sur le point matériel partant du repos lui communique une certaine accélération (f ; supposons alors que l'on fasse agir simultanément n forces égales à f dans la môme direction, qui sera la direction de la vitesse initiale si le point est animé d'une vitesse initiale; en vertu d'une remarque faite numéro i 15, le mouvement du point sous l'action simultanée de toutes ces forces s'obtient en composant les mouvements produits par chacune d'elles individuellement et, comme toutes les forces agissent dans la même direction, l'accélération du mouvement
résultant est égale à la somme des accélérations des moir ments composants, c'est-à-dire à n-f. On a donc
et l'on prouverait de mfime quû l'on a
on tire de là
et par
suite
Supposons maintenant que les deux forces n'aient pas de commune mesure et soit f une force contenue un nombre exact de fois dans F' ; supposons que cette force / soit contenue m fois dans F mais n'y soit pas contenue wî-i-1 fois, de sorte que si elle est contenue p fois dans
F', — ■ et — - — seront les valeurs approchées du rap-
F i port -; à ~ près par défaut et par excès.
D'après ce qui a été dit plus haut, si Ion appelle f l'accélération du mouvement que prendrait le point matériel partant du repos et soumis seulement à l'action de la force f, on a
d'autre part, en vertu aussi de ce qui aété ditplus haut, et puisque la force F est plus grande que m forces f mais plus petite que m + 1 de ces forces, on a aussi m?<y<(m + l)^.
wi VI -h 1
Il suit de là que — et sont aussi les valeurs
~( i approchées du rapport - à - près par défaut et par exilent étant indépendant de la valeur du
nombre », on voit que les deux nombres ^ et -; ont
toujours les mêmes valeurs approchées à - près, donc ils
sont égaux par dêtlQilion et Ton a
129. Remarques. — 1" Le poids P d'un point matériel lui imprime une accélération g ; si donc F est une force constante et T l'accélération qu'elle imprime au même point partant du repos, on a
Si l'on considère une même force F agissant sur divers points matériels, g étant constant pour le même lieu, P est la seule variable du second membre de la formule (2) ; cette formule montre alors que l'accélération produite par une force est inversernent proportionnelle au poids du point matériel auquel elle est appliquée.
2° Si dans l'égalité (1) les deux membres ne représentent pas seulement des rapports mais des quotients dont les termes sont les mesures desforces et des accélérations, on peut changer les moyens de place et l'on a li'r T •/ ' d'où il suit que si différentes forces agissent sur un même point matériel, le rapport de chaque force à l'accélération correspondante est constant.
130. Définition de lîi masse. — On appelle masse d'un point matériel le rapport constant des mesures d'une force
constante et de l'accélératioD qu'elle produit sur ce point. Il résulte en effet de la remarque précédente que si plusieurs
forces constantes P, P', P", produisent sur le même
point matériel les accélérations respectives ■■, -/, y, on a
La valeur commune, m, de ces rapports est la masse du point matériel. Si d'ailleurs la masse du point matériel et l'accélération que lui imprime la force P sont connues on a
en vertu même de la définition de m.
i'6i. Unilé de masse, — L'unité de masse rfisulte de la définition même de la masse, dès qu'on a choisi les unités de longueur, de temps et de force. Si en effet dans l'équation (4) on fait m = i, on a P = -; ; dès lors l'unité de masse est celle 'pour laquelle la. force a même mesure que l'accélération.
On a en particulier pour l'unité de masse
P désignant le poids du point matériel de masse 1 ; donc si l'on a pris pour unité de force le poids d'un décimètre cube d'eau distillée à 4°,1 et à la latitude de Paris, l'unité de masse est celle dont le poids à Paris est
g = i)''»,8088 ou la masse de 9,8088 litres d'eau distillée, etc.
132. Remarque. — Il y a une remarque essentielle à faire, à ce sujet. Par définition, la masse d'un point matériel dépend de la force et de l'accélération ; celle-ci dépend à son tour du temps et de l'espace parcouru, do sorte que la masse dépend à la fois de l'unité de force, de l'unité de longueur et de l'unité de temps.
Les égalités (3) supposent toutes les forces évaluées avec
