CHAPITRE IV lil

m ot que nous supposerons au repos. Imaginons que toutes ces forces soient appliquées au point M pendant le temps infiniment petit dt; elles lui communiqueront un certain déplacement MM' {fig.'ia).

On conçoit qu'il soit possible d'obtenir le même déplacement en faisant agir sur le point M et pendant le même temps une force P confie. '•■' venablement choisie en grandeur et direction : cette force F s'appelle la résultante à l'instant t du système des forces F,, P3,... P,i. Si d'ailleurs le déplacement MM' est rigoureusement nul, la résultante est nulle elle-même et les forces sont en équilibre. Quoi qu'il en soit, la définition de la résultante se ramène à celle-ci :

La résultante d'un système de forces considérées à uninstant donné est la force unique qui peut les remplacer toutes à cet instant.

Dans cette définition, nous omettons volontairement une condition qui semblerait devoir y rentrer, en vertu des considérations qui nous ont conduits h la définition de la résultante. Nous avons supposé en effet que les forces agissent sur un point partant du repos ; mais il est aisé de voir que si une force F peut remplacer l'ensemble des forces F,, F^, ... P„ agissant sur le même point M partant du repos, elle peut également remplacer cet ensemble de forces quand le point M est en mouvement. Nous remarquerons pour cela que, si le point M est en mouvement, on peut le considérer comme faisant partie d'un système invariable animé du même mouvement que lui, c'est-à-dire par suite d'un mouvement de translation. Si alors, à l'instant t, on fait agir les forces Fi, Fa,... V», le mouvement relatif qu'elles impriment au point M dans le système est le même

que si le système était au repos; dès lors ce mouvement relatif ne sera pas altéré si l'on remplace Fi, Pa, . .. F,, par F. Mais le mouvement absolu s'obtient en comparant le mouvement d'entraînement avec le mouvement relatif; la force F n'a évidemment aucune influence sur !e mouvement d'entraînement; quant au mouvement relatif, nous venons de dire qu'il n'est pas altéré si l'on substitue la force 1'' au système des forces F,, Fs,. . F^; donc le mouvement absolu lui-même n'est pas altéré quand on opère la même substitution. En particulier, si les forces F,, Fj,... F„ se font équilibre quand le point M est au repos, elles se feront équilibre quand le point M sera en mouvement, c'est-à-dire que le mouvement du point M n'est pas altéré par l'introduction de ces forces.

i39. Remarque. — Lorsqu'une force F est la résultante de plusieurs autres, F,, F^,... ¥„, la force F', égale et directement opposée à F, fait équilibre à celle-ci et par suite aux.foicp'* Fj, Fg,. . . F„. Si en particulierFi,F2,. . . Fnagisseni dans la même direction et dans le même sens, la force F est pai définition, égale à leur somme ; donc la résultante de plusieurs forces appliquées au même point matériel, dans la même direction et dans le même sens, est égale à leur somme et agit dans le même sens qu'elles.

140. Théorème. — Lorsque plusieurs forces agissent sur le même point matériel M en repos ou enmouvement, le vecteur qui représente la résultante est la somme géométrique des vecteurs qui représentent les forces.

Démontrons d'abord la proposition dans le cas oii le point M est au repos. Pour cela, rappelons que si un point de masse m est en mouvement sous l'action d'une force ip, en appelant J le vecteur qui représente l'accélération totale à un instant donné, on a l'égalité vectorielle