CHAPITRE IV

deux autres forces, dirigées j-especUvement suivant la tangente et suivant la normale principale menées à la trajectoire par le point qui coïncide avec le point matériel à l'instant où oti le considère. La première de ces deux composantes s'appelle la composante tangenCielte de la forée F ou encore la force tangentieUe ; la deuxième s'appelle composante centripète de la force F ou force centripète. D'ailleurs si l'on appelle Pi et Pc ces deux forces respectives, on a évidemment

F. = m-;,,, y, et f,i désignant les composantes tangentieUe et normale de l'accélération; en remplaçant -(, et > par leurs valeurs trouvées en cinématique (64), on a

F, = ra ~ • di

yGoosle

ÉQDATIONS DU MOUVEMENT D'UN POINT MATÉRIEL SOUMIS A DES FORCES CONNUES; APPLICATIONS

143. Nous avons étudié, dans le chapitre précédent, les relations qui existent entre les forces qui agissent sur un point matériel et le mouvement qu'elles impriment à ce point; nous allons montrer, à présent, comment on peut utiliser ces relations pour l'étude du mouvement.

Nous rapporterons pour cela le mouvement à un système de coordonnées rectangulaires, et nous appellerons x, y, z les coordonnées, fonctions du temps, du pointmatériel dans l'une quelconque des positions qu'il occupe quand il se meut sous l'action de plusieurs forces F„ Fj,... Fn- Nous avons montré que la résultante de ces forces est à chaque instant égale à leur somme géométrique; par conséquent, si l'on projette obliquement ou orthogonalement sur un axe quelconque, la projection de ta résultante est égale à la somme algébrique des projections des composantes. D'autre part, si l'on appelle m la massedu point et i le vecteur qui représente l'accélération totale, le vecteur qui représente la résultante est m-f, de sorte que si l'on projette sur un axe quelconque, la projection de la résultante est égale au produit par m de la projection du vecteur y. D'après cela, les projections de la résultante sur les trois axes des coordonnées sont respectivement

d^x dhj d^z

CllAPITRB V

Si donc on désigne d'une manière générale par (P,)^ la projection de la force F; sur on axe 0», on aura les équa-

•iê

ât'

di'

= ÎIF,),,

dans chacune desquelles il faut donner à i toutes les valeurs entières depuis 1 jusqu'à n. En appelant X, Y, Z les seconds membres respectifs de ces équations, c'est-à-dire les composantes de la résultante suivant les axes, on peut encore écrire ces équations

C'est à l'aide de ces équations que l'on parvient à résoudre les deux problèmes principaux qui se présentent en dynamique : 1° un mouvement étant observé, trouver la force qui le produit ; 2" étant donné la force ou les forces qui agissent sur un mobile ainsi que félat initial de ce mobile, c'est-àdire sa position initiale et sa vitesse initiale, trouver le mouvement.

La détermination de la force connaissant le mouvement résulte immédiatement des équations (2), car si l'on connaît le mouvement on connaît les premiers membres de ces équations, et par suite on en déduit les composantes de la force. En généra! on a plutôt à résoudre le second problème : connaissant la force, trouver le mouvement. Le cas le plus

général est celui où la force est mio fonction conm temps, des coordonnées du point et des eonnposantes vitesse ; de sorte que ia forme la plus générale des tiens (1) est

' ^V''""' " -^i' f^'' 'ilJ (Py ^ / dx dy dz\

, dx dy dz\

" dt^ " 'V ■" "' "'"Jt' Tt' Ht)

et si l'on appelle a:^, y^, s^ les coordonnées initiales du mobile, (-77)' [";/)' {'T'A '^^ composantes de la vitesse initiale, c'est-à-dire les valeurs de ces quantités pour ; =: 0, la détermination du mouvement revient à trouver trois fonctions a;, y, z An t satisfaisant aux équations (3) ot vériflant les conditions

dx I dx\ x = x^ — = ^ — |,

pour t =^ 0. Nous traiterons plus loin ce problème dans quelques cas simples.

144. Remarque, — Au lieu de projeter les forces et le mouvement sur trois axes rectangulaires, on peut les projeter sur la tangente et sur la normale principale à la trajectoire. En appelant F la force unique par laquelle on peut remplacer toutes les autres, et a l'angle qu'elle fait avec la tangente, on a ainsi les deux équations

CHAPITRK V

Pour obtenir la composante tangentielle F cos a et la composante normale F sin a, on peut du reste procéder de deux manières : ou bien projeter toutes les forces sur la tangente et sur la normale principale, ou bien décomposer chaque force en deux autres dirigées l'uno suivant la tangente et l'autre suivant une normaie. La somme des composantes tangentielles est m -~ et la résultante des compo-

, , mv^ santés normales est — .

P Cela posé, nous allons faire quelques applications.

145. Problème I. — Mouvement vertical ascendant d'un point matériel pesant dans le vide.

Prenons pour axe des x la verticale passant par la position initiale du mobile et dirigée vers le haut ; puisque le mouvement s'effectue dans le sens des abscisses négatives, son équation est

dl^

Supposons que l'on compte les temps à partir de l'instant où le mobile se met en mouvement, et soit v^ la vitesse initiale. On déduit immédiatement de l'équation {-i) dx

in °" .=-9(+...,

et ensuite