CHAPITRE Y

moiivemenls étudiés étaient rectilig'nea ; nous allons doniierdes exemples de mouvements curvilignes.

149. J'rolilème IV, — Mouvement produit par une force constante en grandeur et direction.

Prenons pour axe des z la direction de la force et soi! m la masse du point matériel ; les cc|ualions du mouvement sont

F désignant la valeur de la force constante.

Soit v„ la vitesse initiale que nous supposerons située dans le plan des zx, et soit « l'angle qu'elle fait avec Ox; on déduiL des équations précédeuLcs dx

-— ^= o^ COS M,

dl "

et enfin

X^= V^i COS Ct + C,

z = vJ sin a -f- :; - ■ ;s + C".

La constante C' est nécessairement nulle, puisque l'on suppose que le plan des zx passe par la position initiale du mobile. Quant aux constantes G et C leurs valeurs dépendent de cette position initiale ; elles sont nulles elles-

mêmes si l'on suppose que le inohile part de Torigine au temps ( = 0, et alors les équations du mouvement deviennent

/ X -- u„< cosa,

L'élimination du temps entre ces équations conduit à une équation du second degré représentant une parabole.

Donc, lorsqu'un point matériel est soumis à une force constante, la trajectoire qu'il décrit est une parabole.

Ceci résulte d'ailleurs de ce que les équations (14) deviennent identiques à celles du mouvement d'un point matériel pesant dans le vide quand on y fait F ^ — mg. Celte remarque nous dispense d'entrer dans d'autres détails relativement au problème que nous traitons.

130. Remarque. ~ Nous venons de voir que la trajectoire d'un point matériel en mouvement sous l'action d'une force constante est une parabole. Ce résultat s'étend à un nombre quelconque de forces constantes ; car la résultante de plusieurs forces en grandeur et direction est elle-même une force constante en grandeur et direction ; par suite, on peut considérer le mouvement comme produit par une seule force constante.

151. Problème V. —Mouvement d'un point matériel attiré par un centre fixe proportionnellement à la distance, la vitesse initiale n'étant pas dans la direction de la force.

Prenons le centre fixe pour origine des coordonnées et appelons :

X, y, z les coordonnées du point à un instant quelconque;

m la masse de ce point ;

CIIAriTRE V -129

r sa distance au centre d'attraction à l'instant où ses coordonnées sont X, y, z.

Les cosinus directeurs de la direction de la force sont

évidemment ^ — -, —-J les équations du mouvement seront donc

m-TT ^ — :»- ■ i".

df r

et, en posant \/-- = ">, elles deviennent

Mais nous avons déjà rencontré (146) une équation de la forme

jlr + ;..„ = o,

ai' et nous en avons tiré

« ^ acos(//(-hC), a, k et C étant des constantes arbitraires.

Appliquant ce résultat aus équations précédentes, il

a; — a cos (u)(-i- a),

y ^ h cos {">t ■+- J3),

z ^^ c cos (fui-H-f),

dans lesquelles a,'', c, n., p, ■; sont des constantes que l'on

130 DYNAM1Q[IE

détermine d'après Ihs donnces initiales du mouvement. On reconnaît dans ces équations celles qui ontété obtenues numéro 99. Nous pouvons donc en conclure qt'.e si un point matériel est en mouvement sous l'action d'une force attractive émanant d'un centre fixe et proportionnelle à la distance :

1" La trajectoire est une ellipse ayant pour centre le point fixe ;

2° Les aires décrites par le rayon gin va du centre de l'ellipse au point mobile sont -proportionnelles aux temps employés à les décrire.