CHAPITRE VI TRAVAIL ET FORCE VIVE
152. N'otidii (lu travail des torcos. — Lorsqu'on Élève un fardeau, on travaille; on admet que le travail accompli est proportionnel au poids et à. l'élévation du fardeau, par suite proportionnel au produit de ces éléments. Si, pourfaciliterle travail, au lieu d'élever verticalement le fardeau, on l'élève à la même hauteur sur un plan incliné, on admet que le travail ne change pas. De même dans tous les travaux de manœuvre où des éléments étrangers, intelligence, insalubrité, etc. n'interviennent pas, on paye le travail proportionnellement au produit delà force surmontée par le chemin parcouru dans la direction de cette force.
De là, la définition suivante :
153. Définition du travail. — On appelle travaild'une force constante en grandeur et direction, lavaleur algébrique du produit de celte force par la projection, sur sa direction, du déplacement de son point d'application.
Soient, d'après cela, AF {/ig. 49) la force, AA' ledéplacement de son point d'application, et a' la projectionde A' sur la direction de la force ; on
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DYNAMIOL'l!
Le produit AF, Aa' est d'ailleurs positif ou négatif selon que les vecteurs AF et Aa' sont de même sens ou de sens contraire. Dans le premier cas le travail est dit moteur; i) est âitrésistant dans le second.
■154. Exemple, -— Considérons un pointmaténel pesant, de poids P; soient AB {/ti}. 50) la trajectoire, z'z la direction delà pe- ^..^ santeur, que nous prendrons comme
\ direction positive des projections
\\ sur la verticale. Si le point matériel
XV descend depuis le point A jusqu'au
\ point B, la projection du chemin
\ parcouru peut être représentée en
B grandeur et sens par le vecteur ab ;
le travail sera donc égal à P X vecf'B- "0 teur a/>. Ici le vecteur a/> est égal h
la distance verticale des poiuls A et B ; mais si le mobile,' au lieu d'avoir un mouvement descendant, avait un mouvement ascendant, le vecteur al> serait égal à cette même distance précédée du signe — .
Ainsi, le travail de la pesmileur est égal au poids multiplié par la dislarice verticale positive ou mgatioe du point de départ du mobile au point d'arrivée.
153. Unité de travail. — D'après cela, si P est le poids d'un point matériel et /( la distance verticale positive ou négative du point de départ au point d'arrivée, et si Ton désigne par Si.P le travail du poids P, on a St. P = P. k.
Si dans cette formule on fait P =1, h = -1, il vient
Si donc on prend pour unité de force le kilogramme et
pour unité de longueur le mètre, l'unité de travail est le
CDAPITRE VI iXi
Iravail de la pesanteur dans la chute de i mètre du poids de 1 kilogramme, ou, ce qui revient au même, le travail qu'il faut dépenser pour élever de i mètre le poids de 1 kilogramme. Ce travail porte le nom de kilogramme ire, rappelant les unités, kilogramme et mètre. Par exemple, si P = 3 kgs et h ^ à m, on a
Ct. F = 12 kilogrammètres.
Dans le système C. G. S. l'unité de travail sera, naturellement, le travail de l'unité de force pour un déplacement égal à l'unité de longueur, c'est-à-dire le travail d'une dyne pour un déplacement de un centimètre. On l'appelle Verg.
136. Évalualioii du kilogrammèlpe en ei-gs. — Comme exercice, proposons-nous d'évaluer le kilogrammètre en ergs. Le poids d'un gramme-masse est 9S0,86 dynes ou 9,8086x10' dynes; le poids du kilogrammètre est donc 9,8086 X 10° dynes. L'unité étant le centimètre, pour avoir la valeur du kilogrammètre en ergs, il faudra multiplier par 100 le poids exprimé en dynes, ce qui donne 9,8080 X 10' ergs.
On appelle megerg une unité secondaire de travail équivalente à 1000 000 d'ergs.
On voit donc que le kilogrammètre vaut environ 100 meg-
157. Expression wlgébrique du travail d'uno îoi'cc couslante. — Nous avons vu que si AA' (/îy. 49) est le déplacement d'un point matériel sous l'action d'une force AF, on a
(!) bi, F = AP.Aft',
les facteurs qui entrent dans le second membre de colle égalité devant être considérés comme des vecteurs. Si l'on mène le vecteur AA', on a
vect. An' = vect. AA' X cos (aaTÀF),
OU, en convenant une fois pour toutes d'écriro l'Q au lieu de vecteur PQ,
Afl' = AA'. cos (AA^n^),
En portant dans l'égalité (1), on obtient
(2) ©V, F = AF.AA'. cos (ÂaTaP),
ce qui conduit aux nouvelles définilions suivantes du travail :
1° On appelle travail d'une force constante en grandeur et direction, le produit de la force par la corde du chemin parcouru et far le cosinus de leur angle ;
2° On appelle travail d'une force constante, le produit de la corde du cheminparcov.ru par la projection de la force sur cette corde.
Cette seconde définition résulte du reste de ce que Ton peut écrire l'égalité (2) sous la forme
Si. F ^ AA'.AF. cos (aFTÀÀ:').
158. Remaroues, — 1" Si l'on appelle D le vecteur AA' et F le vecteur qui représente la force, on voit que le travail de la force F pour le déplacement D n'est autre chose que le produit géométrique des deux vecteurs D et F ; on a donc
2° Le travail est nul soit lorsque la force est nulle, soit lorsque sa direction est normale au déplacement.
159. Extension aux forces variables de la notion du travail ; travail élémentaire Il est aisé maintenant d'étendre
aux forces variables la notion du travail. Imaginons en effet que le chemin parcouru ait été décomposé en éléments infiniment petits. On peut admettre que pendant que le point d'application de la force parcourt l'un quelconque de ces éléments, laforce demeure constante. Soit F la valeur constante de la force et soit dS le déplacement infiniment petit
