CHAPITRE T
163. Théoi-ème I. — Lorsqu'une force P est larésuUanle de plusieurs autres forces Pi, Fj,... P„, son iraoail élémentaire, pour un déplacement quelconque du point d'application, est égal à la somme algébrique des travaux des composantes pour le même déplacement.
Il suffit évidemment de démontrer la proposition pour les travaux élémentaires, c'est-à-dire en supposant que le déplacement soit infiniment petit. Soit donc d?, un déplacement infiniment petit quelconque et /■, /i, /"j,.., /li les valeurs respectives des forces quand le point d'application parcourt l'élément dS ; nous avons vu que l'on a en général
et il s'agit alors do prouver que Ton a
^(f.dS) = Smif^.dS), le signe S s'étendant à toutes les valeurs i,2,...n que l'on peut donner a i. Mais la proposition ramenée à ces termes a été démontrée au début (20) et résulte du reste immédiatement du théorème des projections.
'164. Théorème II. — Quand on considère une force P comme la somme géométrique de plusieurs autres forces V,,F^, ...Pn et un déplacement comme résultant de plusieurs déplacements, le travail de la force F, pour le déplacement résultant, est égal à la somme algébrique des travaux des composantes pour les déplacements composants.
Il suffit encore de démontrer la proposition en supposant que le déplacement soit infiniment petit. Soit donc dS un déplacement infiniment petit résultant de plusieurs autres ds,,ds^, ...ds„, etsoient /■,/,, .../■» lesvaleursrespectives des forces quand le point d'application parcourt l'élément rfS. Tout revient à prouver que l'on a
le signe S s'étendant à toutes les valeurs 1,2, ...n quel'on
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peut donner à i et à ./. Mais la proposition résulte alors de ce que l'on a démontré au début (20) sur les produits géométriques.
163. Expression analytique du ti'avail ëlëinenlaire. — D'après cela, sî l'on appelle X, Y, Z lescomposantesd'uneforce et dx, dy, dz lescomposantesdu déplacementdupointd'appîication, il est aisé d'avoir l'expression du travail élémentaire correspondant. Supposons en efl'et que les axes de coordonnées soient rectangulaires, et remarquons que les seuls travaux qui ne soient pas nuls sont ceux qui correspondent aux déplacements de même direction que les forces correspondantes ; nous obtenons ainsi pour le travail élémentaire l'expression
Ct. =Xdx+Ydy+7.(lz.
On peut obtenir cette expression d'une autre manière, en partant de l'équation
Et, ^F.rfS. cos(îQs).
On a en effet
^.-— >--, Xdj^ + Ydy + Zdz c„.(K&) = ^-^
et par suite
El, = \dx^\dy-i-'/.dz.
166. IIem.uioue. — 11 est bon d'observer que l'expression analytique du travail, prise sous cette forme, n'est pas applicable dans le cas des axes obliques.
ICJ. Application aux loi-ees émanées de centres Ilxes et fonctions de la distance. — Supposons, par exemple, que le point matériel soit en mouvement sotis l'action d'une force émanant d'un point fixe G et fonction de la distance r du mobile à ce point.
Supposons, pour fixer les idées, que cette force soit attractive et appelons-la œ(r) ; puis, rapportons le mouvement à
