CHAPITRE VI

trois axes rectangulaires passant par le point [fig.m). Si M est la position du point matériel à un instant quelconque, X, y, 3 ses coordonnées, H, p, 7 les angles de la direction MO avec les axes.

par suite, les projections orthogonales de la force sur les axes, c'est-à-dire ses composantes suivant ces mêmes axes, seront respectivement

Il en résulte, pour le travail élémentaire, l'expression

- ' — ^^ {xdx -(- ydy -H zdz).

et par suite

dr

dy

^yj.

iz

il '

d'où rdr ^^.xdx-hydy -I- zdz;

dû sorte que l'expression du travail élémentaire devient — ol/ld,:

Si donc le mobile se déplace depuis le point Jl„ corre

140 DïKA-MIQCE

pondant à la valeur ;■„ da >■ jusqu'au point Mj correspondant à la valeur r,, on aura pour le fravail total

^,, = - l"''}{v)dr.

Dans le cas des forces répulsives, il sufQt de changer ,(r) en -o(,.).

Plus généralement, supposons qu'il y ait n forces attractives ou répulsives émanant de centres fises et fonctions des distances à ces centres.

Appelons ip,(n) la force émanée du centre C; et considérée comme attractive ou répulsive suivant que ?i(n) est négative ou positive.

En vertu du théorème 1 (1G;1), le travail total sera donné par l'équation

G., = p''f,{>\]dr,+ f"' ^n{r,.)dT,.,

en supposant, bien entendu, que le point matériel se déplace depuis le point M^,, pour lequel les distances r,, r^,... r„ sont respectivement a^, %,.. . \, jusqu'au point Mj, pour lequel ces distances sont respectivement ^i, pi,... Àj.

168. Cas parliculiei's. — Los cas particuliers les plus remarquables sont ceux où la fonction f(r) est, soit proportionnelle à la distance, soit en raison inverse de cette distance, soit en raison inverse du carré de la distance.

Dans le premier cas on a

dans le second

cl dans le troisièra

CilAriTKE YI lil

Dans les trois cas, ,a désigncun coeflicient de proportionnalité que l'on peut supposer positif dans le cas des forces répulsives et négatif dans le cas des forces attractives.

169. Surfaces de niveau et poteatlel. — Dans les applications, il arrive fréquemment que les composantes X, Y, Z de la force qui agit sur un point matériel sont les dérivées partielles d'une même fonction U des coordonnées de ce point, c'est-à-dire que l'on a

()x ' Oij à:

L'expression du travail élémentaire devient alors

du , àV^ àV^ -^ dx -h -r- ay ~i- -^ dz ; àx oij •' ôz

elle est donc la différentielle totale de la fonction U(œ, y, z). Or, si l'on suppose X. Y, Z et x, y, z exprimées en fonction d'une même variable, le temps par exemple, le travail total est donné par l'équation

U . = j i\dx -+- Yd<j H- Zdz),

en supposant que le point se déplace depuis le temps /„ jusqu'au temps ;.

Si donc on appelle x^, y^,, Sq les coordonnées du point au temps l^, x,y,3 ses coordonnées au temps (, on aura, dans le cas que nous examinons, (3) ï^t. = U(a^^/.-)-U(.7„y„^„}■

Lorsque les composantes de la force sont ainsi ies dérivées partiellesd'une même fonction \}{x, y, z) des coordonnées du point matériel, on dit qu'il y a une fonction des forces, et U[a;, y, z) s'appelle la fonction des forces.

On appelle surfaces de niveau toutes les surfaces représentées par l'équation

yGoosle

dans laquelle C représente une constante arbitraire. Ces surfaces sont ainsi nommées parce que si le point matériel se déplace de l'une à l'autre par n'importe quel chemin, le travail total est toujours le même : cela résulte de l'équation (3).

170. Exemples- — 1° Supposons que le point matériel soit soumis à l'action d'une force constante en grandeur et direction, et soient A, B, C les composantes de cette force suivant les axes ; on peut considérer A, B, C comme les d(5rivées partielles de la fonction

Air + By -H Cs ; la fonction des forces est \x -+- By -H Cz et les surfaces de niveau sont des plans parallèles

\x + By -K C; = D.

C'est ainsi que dans le cas de la pesanteur nous avons reconnu (1S4) quele travail total ne dépend que de la distance verticale parcourue par le point d'application.

1" Supposons que le point se meuve sous l'action d'une force attractive constante en grandeur, émanant de l'origine des axes. Les cosinus directeurs de la direction de la force sont . — ■-. ~-, et l'on a

\fx^-hy^ -h 5^

X, Y, Z sont les dérivées partielles de — ;j ^/x^-i-y' -i-z^', la fonction des forces est — |i ^x'' -+- y^ -f~z^, et les surfaces do niveau sont des sphères représentées par l'équation

et ayant pour centre l'origine.

Le cas où il existe une fonction des forces se présente