CHAPITRE VI

surtout dans les recherches sur l'électricité el le magnétisme, et on a l'habitude de désigner sous le nom ô,& potentiel la. fonction des forces changée de signe ; les surfaces de niveau s'appellent alors des surfaces érjuipotentielles.

t71. Détinition. — On appelle /brce ïiiue d'un point matériel en mouvement, la moitié du produit de sa masse par le carré de sa vitesse ; de sorte que si m est la masse du point, 15 sa vitesse à un instant donné, la force vive à cet

j instant est ^«îu'.

172. TùéopèmelII. - La fli/férenticUc de la force vive pendant un temps infiniment petit dt, est égale au travail élémentaire de la résultante pendant ce temps, c'est-à-dire à la somme des travaux élémentaires des composantes.

Soient en effet a:, y, z les coordonnées, à un instant donné, d'un point matériel de masse m rapporté à trois axes rectangulaires. Si l'on appelle x, y, z les composantes, suivant les axes, de la résultante des forces qui agissent sur le point matériel, on a vu (143i que les équations du mouvement de ce point sont

dt^

n. -■' - Y dC" ~ '

dv soient dx, rfi/, dz les composantes du déplacement pendant un temps déterminé infiniment petit dt. Si l'on ajoute ces équations membre à membre après les avoir multipliées respectivement par dx., dy, dz, il vient

■ ^^;-dz) ^ Xdx-i-Ydy-hZdz.

yGoosle

Or, le second membre de cette équation représente le travail élémentaire de la résultante (165) pendant le temps dt ; d'autre part, en appelant v la vitesse, on a

"■' ~ U( / "'' \dl ) '^ \dt ) ' et par suite

2 nrii^-i' (^jc d^y dy d'z dzl 'VdU ' Ji ^di} ' ~di 'di} ' dt\ '

donc le premier membre de l'équation (4) est égal à

.iQ™-), etr„„a

(5) 1^ ^ ^ '^dx + -\dy + ïA:.,

ce qui démontre la proposition.

173. Corollaire.— La variation de force vive d'un point matériel pendant un temps quelconque est égale û la somme des travaux des forces qui agissent sur ce point pendant le même temps.

Le travail de la résultante Étant égal à la somme des travaux des composantes pendant le même temps (163), il suffit de démontrer que la variation de force vive pendant un temps quelconque est égale au travail de la résultante, Or, soit F la résultante à un instant quelconque ; si rfS est le déplacement infiniment petit pendant le temps dt qui succède à cet instant et a l'angle que fait la direction de la force avec celle du déplacement, le travail élémentaire est

F cos K.rfS ; le travail total depuis le temps ;„ pour lequel S — s„, jusqu'au temps t pour lequel S = s, est par suite

fV.cos^.dS.

D'autre part, en vertu du thûorÈmc précédent, on a, pen-