CHAPITRE VI

dant le lemps considéré,

/ P COS a.rfS,

î!(, désignant la vitesse au temps t^ et v la vitesse au temps (. Celte équation exprime le théorème énoncé.

174. Rbsiaeoue. — l--a proposition précédente porte le nom de théorème des forces vives, et l'équation (6) ou, ce qui revient au même, l'équation (5) s'appelle Véqualion des forces vives. On peut l'utiliser dans certains cas pour déterminer la vitesse à un instant quelconque, sans qu'il soit nécessaire d'avoir l'équation de la trajectoire. Tel est le cas oili il existe une fonction des forces ; car, s'il existe une fonction des forces, U(a:,;/, s), on peutévaluer l'intégrale définie qui figure au second membre de l'équation (6), et l'on a

-ntv^ — ^mvl = \j{x, y, z) — V{x^, i/,, ïq).

Faisons quelques applications.

175. Application I. — Supposons d'abord qu'un point matériel de masse m se meuve dans le vide sous l'action de la pesanteur. En supposant que l'ase des :: soit vertical et que la direction positive soit opposée à celle de la pesanteur, la fonction des forces est — viçjz; par suite l'équation des forces vives donne, quelle que soit la nature de la trajectoire,

^rnv -^^mvl = ^mg{z-z,),

c'ûst-â-dire

II en résulte, ainsi que cela a déjà été remarqué (126,2°) que si le point part d'un plan horizontal pour revenir au mi5me plan horizontal, la vitesse reprend la mfimc valeur.

t76. Ai>plic;»Uoii II. -

posons qu'un point mad

Gomme seconde applicalion, sup- ■iel (ie niasse m soit attiré par une droite fixe proportionnellement à sa distance à la droite ; supposons d'ailleurs la force normale à cettedroite,quenoiisprendrons pour axe des z.

Soient x, y, z les coordonnées du point mobile dans l'une quelconque, M [fig. 33), de ses positions etsoit r sa distance MP à l'axe; les cosinus directeurs de MP sont ^--

— - et 0; par suite, les composantes de la force suivant les axes sont

[i désignant un coefficient de proportionnalité.

Si l'on observe que xdx-\-ydy = rdr, l'équation dos forces vives est

La fonction des forces est

et les surfaces de

niveau sont des cylindres de révolution autour de Oz. On voit sur l'équation (7) que si r = r,, c'est-à-dire que si le