CHAPITRE VJ lil

mobile part d'une surface de niveau pour aller à une autre surface de niveau par n'importe quel chemin, la vitesse du mobile est la même dans les deux cas.

Ce résultat s'étend à toutes les surfaces de mvèaa, pourvu qu'elles ne se coupent pas.

Nous donnerons, dans les chapitres suivants, d'autres applications du théorÈme de la force vive; nous allons terminer ce chapitre par quelques remarques sur l'homogénéité des formules de la Mécanique.

177. Itemarques sur l'homogénôUé des [oriniile.s de la mécanique. — On montre, en géométrie analytique, que si une relation entre les lignes d'une figure a été établie sans que l'unité de longueur ail été lixée, celte relation est homogène : c'est en cela que consiste le principe de l'homogénéité. Ce principe, qui sert à la vérification des formules, se retrouve dans toute science basée sur les relations qui existent entre des grandeurs d'espèces différentes. Telle est la mécanique, dont l'étude fait intervenir trois espèces de grandeurs ; longueurs, temps et masses, 'foutes les formules de la mécanique devront donc être homogènes par rapport à ces trois espèces de grandeurs, et il importe de pouvoir s'en assurer rapidement. On y parvient en fixant ce qu'on appelle les dimensions des diverses quantités que nous avons rencontrées soit en cinématique, soit en dynamique. Les exemples qui suivent feront comprendre ce qu'il faut entendre par là.

1° La vitesse est le quotient d'une longueur par un temps ; on dit qu'elle est de dimension i par rapportaox longueurs et de dimension —1 par rapport au temps. par rapport aux masses.

2" L'accélération est le quotient d'une vitesse par un temps; elle sera donc de dimension 1 par rapport aux longueurs et de dimension — 2 par rapport aux temps, par rapport aux masses.

3° La force, dérivée de la masse, est égale au produit d'une

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masse par une accélération; elle sera donc de dimensions respectives 1,1 Lt —2, par rapport aux longueurs, aux masses et au\ temp^

4° Le tia-v iil, qui est le produit de la force par un déplacement, sera de dimensions respectives 2, d et — 2 par rapport aux longueurs aux masses et aux temps.

3» Enfin la force vive a les mêmes dimensions que le travail, ce qui doit être, sans quoi l'équation des forces vive^ ne serait pas exacte.

Il est aisé, avec cela, de vérifier les formules de la mécanique. Prenons par exemple la formule

du mouvement ascendant d'un point matériel pesant dans le vide; a: est de dimensions respectives 1, 0, par rapport aux longueurs, aux temps et aux masses. Or, on constate immédiatement, à l'aide des remarques qui précèdent, qu'il en est de même du second membre ; par exemple »„ est de dimensions respectives 1, — 1, par rapport aux longueurs, aux temps et aux masses ; donc -o^t est de dimensions respectives 1, 0, 0.